Dubbi vari
Ciao a tutti ragazzi, ringrazio in anticipo chi tenterà di aiutarmi =).
1) Dire se una funzione è derivabile in un determinato punto $x_0$.
Dovrei fare il limite destro e sinistro del rapporto incrementale di $x$ che tende ad $x_0$ $\lim_{x \to \x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ e vedere se viene un valore finito ed uguale da entrambi i lati.
Domanda, è equivalente dopo aver determinato la $f'(x)$ fare il limite destro e sinistro della derivata prima per $x$ che tende
ad $x_0$. Cioè
$\lim_{x \to \x_0} f'(x)$ = $\lim_{x \to \x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ ? (Destro e sinistro in entrambi i casi)
2) Rappresentare Graficamente i numeri complessi.
Bisogna rappresentarli come vettori o come punti rispetto all' asse reale ed all' asse immaginaria?
3)Prendo come esempio $f(x)=sin^2(x)$. Calcolare la formula di Taylor con resto di Peano nel punto iniziale $x_0=0$ ed ordine 4 di $f$.
Dato che $sinx=x-x^3/3!+...+(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+1))$
Allora $sin^2x=(x-x^3/3!+...+(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+1)))^2$
Domanda
Dato che deve essere di ordine 4 io prenderei come approssimazione (sperando che sia giusta) $x^2-2/(3!)x^4+o(x^?)$ Ma di che ordine deve essere l' o-piccolo?
4)Relazioni tra o-piccoli e non
Supponiamo di avere $f(x)$ qualsiasi
a)$o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))$
b)$o(f(x))o(f(x))=o(f(x)^2)$
Queste proprietà sono vere?
Inoltre vorrei chiarirti alcuni aspetti "pratici", per esempio questi passaggi sono corretti? Se no, come si fanno?
$\lim_{x \to \infty} sqrt(x^2+1)/x$ $=$ $\lim_{x \to \infty} sqrt(x^2+o(x^2))/x$
Adesso dove va a finire l' o-piccolo in modo da determinare con facilità il valore del limite? Mi potreste riportare con accuratezza i passaggi che fate con l' o-piccolo?
Se non sono stato chiaro oppure o sbagliato qualcosa non esitate a farmelo notare. Di nuovo grazie
1) Dire se una funzione è derivabile in un determinato punto $x_0$.
Dovrei fare il limite destro e sinistro del rapporto incrementale di $x$ che tende ad $x_0$ $\lim_{x \to \x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ e vedere se viene un valore finito ed uguale da entrambi i lati.
Domanda, è equivalente dopo aver determinato la $f'(x)$ fare il limite destro e sinistro della derivata prima per $x$ che tende
ad $x_0$. Cioè
$\lim_{x \to \x_0} f'(x)$ = $\lim_{x \to \x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ ? (Destro e sinistro in entrambi i casi)
2) Rappresentare Graficamente i numeri complessi.
Bisogna rappresentarli come vettori o come punti rispetto all' asse reale ed all' asse immaginaria?
3)Prendo come esempio $f(x)=sin^2(x)$. Calcolare la formula di Taylor con resto di Peano nel punto iniziale $x_0=0$ ed ordine 4 di $f$.
Dato che $sinx=x-x^3/3!+...+(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+1))$
Allora $sin^2x=(x-x^3/3!+...+(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+1)))^2$
Domanda
Dato che deve essere di ordine 4 io prenderei come approssimazione (sperando che sia giusta) $x^2-2/(3!)x^4+o(x^?)$ Ma di che ordine deve essere l' o-piccolo?
4)Relazioni tra o-piccoli e non
Supponiamo di avere $f(x)$ qualsiasi
a)$o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))$
b)$o(f(x))o(f(x))=o(f(x)^2)$
Queste proprietà sono vere?
Inoltre vorrei chiarirti alcuni aspetti "pratici", per esempio questi passaggi sono corretti? Se no, come si fanno?
$\lim_{x \to \infty} sqrt(x^2+1)/x$ $=$ $\lim_{x \to \infty} sqrt(x^2+o(x^2))/x$
Adesso dove va a finire l' o-piccolo in modo da determinare con facilità il valore del limite? Mi potreste riportare con accuratezza i passaggi che fate con l' o-piccolo?
Se non sono stato chiaro oppure o sbagliato qualcosa non esitate a farmelo notare. Di nuovo grazie
Risposte
Provo a cimentarmi! 
1)Esatto, vedi tu quando è più conveniente usare la definizione del rapporto incrementale oppure calcolare la derivata e farne il limite
2)Io direi come vettori
https://www.matematicamente.it/manuale_m ... 001096843/
3) Allora diciamo che lo sviluppo di Mclaurin di ordine 3 è: $sin(x)=x-x^3/(3!)+o(x^3)$, mentre essendo il seno una funzione dispari tutti i termini di ordine pari sono nulli, quindi per lo sviluppo di ordine 4:
$sin(x)=x-x^3/(3!)+o(x^4)$ ( ci sarebbe un termine della forma $0*x^4$ che appunto è nullo)
Quindi il tuo sviluppo dovrebbe essere: $x^2-x^4/3+o(x^4)$
4) Si, di queste proprietà sono sicurissimo
Per quel limite io farei così:
$lim_(x->+oo) sqrt(1+x^2)/x$
Raccolgo $x^2$ dentro la radice e porto fuori
$lim_(x->+oo) (|x|*sqrt(1+1/x^2))/x$
Per $x->+oo$, $x$ è positiva quindi la libero dal valore assoluto e semplifico col denominatore
$lim_(x->+oo) sqrt(1+1/x^2)$
A questo punto è evidente che il risultato è $1$, ma volendo utilizzare gli o-piccolo, si può porre $t=1/x^2$, ed osservare che per $x->+oo$, $t->0$ quindi si può usare lo sviluppo $(1+x)^\alpha$ per $x->0$:
$lim_(t->0) [1-(1/2)t+o(t)]$
Riportando alla variabile originale:
$lim_(x->+oo) [1-1/(2x^2)+o(1/x^2)]=1$
1)Esatto, vedi tu quando è più conveniente usare la definizione del rapporto incrementale oppure calcolare la derivata e farne il limite
2)Io direi come vettori
https://www.matematicamente.it/manuale_m ... 001096843/
3) Allora diciamo che lo sviluppo di Mclaurin di ordine 3 è: $sin(x)=x-x^3/(3!)+o(x^3)$, mentre essendo il seno una funzione dispari tutti i termini di ordine pari sono nulli, quindi per lo sviluppo di ordine 4:
$sin(x)=x-x^3/(3!)+o(x^4)$ ( ci sarebbe un termine della forma $0*x^4$ che appunto è nullo)
Quindi il tuo sviluppo dovrebbe essere: $x^2-x^4/3+o(x^4)$
4) Si, di queste proprietà sono sicurissimo
Per quel limite io farei così:
$lim_(x->+oo) sqrt(1+x^2)/x$
Raccolgo $x^2$ dentro la radice e porto fuori
$lim_(x->+oo) (|x|*sqrt(1+1/x^2))/x$
Per $x->+oo$, $x$ è positiva quindi la libero dal valore assoluto e semplifico col denominatore
$lim_(x->+oo) sqrt(1+1/x^2)$
A questo punto è evidente che il risultato è $1$, ma volendo utilizzare gli o-piccolo, si può porre $t=1/x^2$, ed osservare che per $x->+oo$, $t->0$ quindi si può usare lo sviluppo $(1+x)^\alpha$ per $x->0$:
$lim_(t->0) [1-(1/2)t+o(t)]$
Riportando alla variabile originale:
$lim_(x->+oo) [1-1/(2x^2)+o(1/x^2)]=1$
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