Dubbi Teorici sui Limiti
Buongiorno, 
avrei dei dubbi in merito allo svolgimento dei Limiti ( solitamente quelli che si svolgono per gli asintoti )... Dunque vi pongo un esempio su una funzione che sto facendo, saltando i primi passaggi io devo fare questo limite \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{x-1}{3x^2+7x-6}}) \) .
Dunque andando a sostituire \( 1^+ \) viene fuori \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{1^+-1}{3(1^+)^2+7(1^+)-6}}) \) !
Ora qua vengono i miei dubbi... Io non riesco a capire i numeri che hanno come apice il + o il - ( in questo caso quindi \( 1^+ \) ) come vanno calcolati nel limite. Vi faccio un esempio tanto per capire... Ad esempio al denominatore devo fare i calcoli così? \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{0^+}{3^++7^+-6}}) = \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{0^+}{4^+}}) \)
Cioè non capisco se l' 1^+ va sempre calcolato oppure se in certi calcoli è inutile calcolarlo... Questi numeri con all'esponente il + oppure il - mi mandano in confusione
Poi altra domanda sempre sui limiti, prendiamo in esame sempre quel limite che viene \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (0)= -\infty \) ma come faccio a capire che il log (0) viene \( -\infty \) ?? Ok allora mi guardo il grafico del log con a > 1 perchè il libro in questo caso intende il log in base e !
Ok fin qui ci sono ma non capisco perchè se il log (0) viene \( -\infty \)
! Ok le mie domande finiscono qui, sono banali ma non le capisco purtroppo 
avrei dei dubbi in merito allo svolgimento dei Limiti ( solitamente quelli che si svolgono per gli asintoti )... Dunque vi pongo un esempio su una funzione che sto facendo, saltando i primi passaggi io devo fare questo limite \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{x-1}{3x^2+7x-6}}) \) .Dunque andando a sostituire \( 1^+ \) viene fuori \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{1^+-1}{3(1^+)^2+7(1^+)-6}}) \) !
Ora qua vengono i miei dubbi... Io non riesco a capire i numeri che hanno come apice il + o il - ( in questo caso quindi \( 1^+ \) ) come vanno calcolati nel limite. Vi faccio un esempio tanto per capire... Ad esempio al denominatore devo fare i calcoli così? \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{0^+}{3^++7^+-6}}) = \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{0^+}{4^+}}) \)
Cioè non capisco se l' 1^+ va sempre calcolato oppure se in certi calcoli è inutile calcolarlo... Questi numeri con all'esponente il + oppure il - mi mandano in confusione
Poi altra domanda sempre sui limiti, prendiamo in esame sempre quel limite che viene \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (0)= -\infty \) ma come faccio a capire che il log (0) viene \( -\infty \) ?? Ok allora mi guardo il grafico del log con a > 1 perchè il libro in questo caso intende il log in base e !
Ok fin qui ci sono ma non capisco perchè se il log (0) viene \( -\infty \)
! Ok le mie domande finiscono qui, sono banali ma non le capisco purtroppo
Risposte
ciao,
la scrittura $ lim_(x -> 1^{+})f(x) $ sta ad indicare il cosiddetto "limite destro".
Infatti si guarda il valore limite della funzione quando la variabile indipendente $x$ si "avvicina" a 1, ma da "destra", ossia procedendo dal verso positivo dell'asse x.
Analogamente si procede con il limite sinistro.
La tua sostituzione dentro al limite è corretta...
Quando il limite destro e il limite sinistro coincidono, allora non è necessario utilizzare la notazione $21^{+}$ o $1^{-}$...
Il logaritmo è definito quando il suo argomento è strettamente maggiore di zero ($x>0$), e notiamo, che per x che si avvicina a 0 da destra, la funzione assume valori infinitesimi, ossia sempre più piccoli.
la scrittura $ lim_(x -> 1^{+})f(x) $ sta ad indicare il cosiddetto "limite destro".
Infatti si guarda il valore limite della funzione quando la variabile indipendente $x$ si "avvicina" a 1, ma da "destra", ossia procedendo dal verso positivo dell'asse x.
Analogamente si procede con il limite sinistro.
La tua sostituzione dentro al limite è corretta...
Cioè non capisco se l' 1^+ va sempre calcolato oppure se in certi calcoli è inutile calcolarlo... Questi numeri con all'esponente il + oppure il - mi mandano in confusione
Quando il limite destro e il limite sinistro coincidono, allora non è necessario utilizzare la notazione $21^{+}$ o $1^{-}$...
Il logaritmo è definito quando il suo argomento è strettamente maggiore di zero ($x>0$), e notiamo, che per x che si avvicina a 0 da destra, la funzione assume valori infinitesimi, ossia sempre più piccoli.
Ciao Jack 
Per quanto riguarda la prima domanda, se hai difficoltà con quel tipo di calcoli prova per esempio a pensare a $1^+$ come a $1,00000001$ e a $1^-$ come $0,9999999$. Ovviamente nn è quello il significato di $1^+$ e di $1^-$ ma ti aiuterà decisamente nello svolgimento dei calcoli. Quindi nel tuo esempio per fare $1^+-1$ prova a fare $1,000001-1$ e ti convincerai facilmente che fa $0,000001$ che quindi è $0^+$
Per quanto riguarda la seconda domanda, sono deducibili dal grafico. Per esempio sai che qualsiasi logaritmo con argomento $0^+$ vale $-oo$ oppure che un esponenziale con base compresa tra 0 e 1 calcolata a $+oo$ fa $0^+$.
Se hai altri dubbi chiedi pure.
Ciao
Per quanto riguarda la prima domanda, se hai difficoltà con quel tipo di calcoli prova per esempio a pensare a $1^+$ come a $1,00000001$ e a $1^-$ come $0,9999999$. Ovviamente nn è quello il significato di $1^+$ e di $1^-$ ma ti aiuterà decisamente nello svolgimento dei calcoli. Quindi nel tuo esempio per fare $1^+-1$ prova a fare $1,000001-1$ e ti convincerai facilmente che fa $0,000001$ che quindi è $0^+$
Per quanto riguarda la seconda domanda, sono deducibili dal grafico. Per esempio sai che qualsiasi logaritmo con argomento $0^+$ vale $-oo$ oppure che un esponenziale con base compresa tra 0 e 1 calcolata a $+oo$ fa $0^+$.
Se hai altri dubbi chiedi pure.
Ciao
"feddy":
... Il logaritmo è definito quando il suo argomento è strettamente maggiore di zero ($x>0$), e notiamo, che per x che si avvicina a 0 da destra, la funzione assume valori infinitesimi, ossia sempre più piccoli.
Al contrario, assume "valori infiniti" ... se così si può dire
Cribbio volevo dire infiniti valori negativi e ho scritto infinitesimi !!
Grazie della correzione è stata una svista !
Grazie della correzione è stata una svista !
"ardesiacesellata":
Ciao Jack
Per quanto riguarda la prima domanda, se hai difficoltà con quel tipo di calcoli prova per esempio a pensare a $1^+$ come a $1,00000001$ e a $1^-$ come $0,9999999$. Ovviamente nn è quello il significato di $1^+$ e di $1^-$ ma ti aiuterà decisamente nello svolgimento dei calcoli. Quindi nel tuo esempio per fare $1^+-1$ prova a fare $1,000001-1$ e ti convincerai facilmente che fa $0,000001$ che quindi è $0^+$
Ciao
Però scusate l'insistenza io non ho capito una cosa... Ad esempio prendendo lo stesso limite di prima mi viene fuori sostituendo una cosa cosi \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{1^+-1}{3(1^+)^2 +7(1^+)-6}}) = log (\sqrt[]{\frac{0^+}{3^+ +7^+-6}}) \) che continuando viene \( \lim_{x\rightarrow 1^+} log (\sqrt[]{\frac{0^+}{4^+}}) \) ma ad esempio in questo caso ha senso parlare di 0^+ o 4^+? Perchè tanto 0 fratto un numero è sempre 0 no? Poi la radice di 0 è sempre 0... Non capisco il senso
Oppure un altro esempio è il limite seguente a quello sopracitato che sarebbe il seguente \( \lim_{x\rightarrow -3^+} log (\sqrt[]{\frac{x-1}{3x^2+7x-6}}) \) e che sostituendo viene \( \lim_{x\rightarrow -3^+} log (\sqrt[]{\frac{-3^+-1}{3(-3^+)^2+7(-3^+)-6}})= log (\sqrt[]{\frac{-4^+}{27^+ -21^+ -6}}) \) che continuando viene \( \lim_{x\rightarrow -3^+} log (\sqrt[]{\frac{-4^+}{0^+}}) \) oppure viene \( \lim_{x\rightarrow -3^+} log (\sqrt[]{\frac{-4^+}{0^-}}) \) ?? Cioè il + o il meno ( nell'apice ) serve solo se mi viene fuori 0^+ ad esempio o anche se viene 3000^- ( per fare un esempio ) ??
Non so se mi sono spiegato bene
"ardesiacesellata":
Per quanto riguarda la seconda domanda, sono deducibili dal grafico. Per esempio sai che qualsiasi logaritmo con argomento 0+ vale −∞ oppure che un esponenziale con base compresa tra 0 e 1 calcolata a +∞ fa 0+.
Ma nel caso del logaritmo in base e un logaritmo di questo tipo con argomento 0^+ vale \( -\infty \) perchè se vai sull'asse delle x verso 0 ( da destra ovviamente in quanto è 0^+) il grafico nel logaritmo lo trovo solo nella parte bassa, quindi verso \( -\infty \) ?? E' questo il ragionamento??
Ciao
Per quanto riguarda il primo pezza come ti ha giustamente detto feddy se il limite destro e quello sinistro coincidono allora è inutile farlo.
Però se l'esercizio specifica se il limite è destro o sinistro allora è meglio tenerlo in considerazione. Perché a volte può anche cambiare il senso dell esercizio. Per esempio cambia da $1/0^+$ e $1/0^-$ perché uno fa più e l altro meno $oo$.
Per il secondo pezzo, sì è corretto il tuo ragionamento.
PS un piccolo appunto. Una volta che sostituisci il valore nn devi più riportati sempre dietro la notazione $lim$
Per quanto riguarda il primo pezza come ti ha giustamente detto feddy se il limite destro e quello sinistro coincidono allora è inutile farlo.
Però se l'esercizio specifica se il limite è destro o sinistro allora è meglio tenerlo in considerazione. Perché a volte può anche cambiare il senso dell esercizio. Per esempio cambia da $1/0^+$ e $1/0^-$ perché uno fa più e l altro meno $oo$.
Per il secondo pezzo, sì è corretto il tuo ragionamento.
PS un piccolo appunto. Una volta che sostituisci il valore nn devi più riportati sempre dietro la notazione $lim$
Solitamente considerare in tutti i punti gli apici, può servire solo per dire se si parla di limite superiore o limite inferiore. Ovvero se la funzione si avvicina al limite dall'altro o dal basso. Quando ha senso considerare l'apice? quando numeratore, denominatore o la funzione in sé è infinitesima in quel punto oppure quando ci sono problemi di definizione, o forme di indecisione.
ad esempio $3x^2+7x-6$ è continua nel punto $1$ e che si intende per continua?
$lim_(x->1^+)f(x)=lim_(x->1^-)f(x)=f(1)=3(1)^2+7(1)-6=4$
Non crea problemi né alla radice, né al logaritmo, quindi non ha senso scomodarti a tenere conto degli apici o cose simili, considera il valore della funzione nel punto.
Nel caso del numeratore, invece: $sqrt(x-1)$
Che la funzione è continua in $1$ ne potremmo parlare. Poiché per definizione di continuità, devono esistere i limiti destro e sinistro. Però facendo abusando il concetto, diciamo che è continua. Il problema cosa lo crea? il fatto che la funzione è infinitesima per $x->1^+$ (nota che per $x->1^-$ la funzione nemmeno è definita) e questo non ci va bene, perché ci si annulla l'argomento del logaritmo. In generale l'importanza dell'essere infinitesima, è data anche dal fatto che in $0^+$ gestiamo numeri positivi, in $0^-$ gestiamo numeri negativi, quindi bisogna tenere conto di questa informazione.
$lim_(x->1^+)logsqrt((x-1)/(3x^2+7x-6))=[log(0^+)/2]=-infty$
Quindi non ti apprecare più di tanto a questo discorso. Se vuoi un esempio di quando può esserti utile:
$lim_(x->1^-)x^2$ voglio sapere se la funzione tende a $1$ dall'alto o dal basso, allora tengo conto dell'apice.
$lim_(x->1^-)x^2=[(1^-)^2]$
cosa vuol dire $(1^-)^2$? è un numero $0
per quanto riguarda la seconda domanda, è abbastanza semplice.
A che potenza devi elevare il numero $e$ per ottenere un numero prossimo a $0$?
Considerando che $e^-1=1/e, e^-2=1/e^2$...$lim_(x->-infty)e^(x)=0$
essendo che $y=e^x <=> x=log(y)$ se $x->-infty$ vorrà dire che il logaritmo tende a $-infty$
Riassumendo il significato: le ascisse si avvicinano a $0$ da destra, il valore del logaritmo diverge a $-infty$. Se studi la funzione $a^x$ e studi la sua invertibilità, ne convieni da solo.
ad esempio $3x^2+7x-6$ è continua nel punto $1$ e che si intende per continua?
$lim_(x->1^+)f(x)=lim_(x->1^-)f(x)=f(1)=3(1)^2+7(1)-6=4$
Non crea problemi né alla radice, né al logaritmo, quindi non ha senso scomodarti a tenere conto degli apici o cose simili, considera il valore della funzione nel punto.
Nel caso del numeratore, invece: $sqrt(x-1)$
Che la funzione è continua in $1$ ne potremmo parlare. Poiché per definizione di continuità, devono esistere i limiti destro e sinistro. Però facendo abusando il concetto, diciamo che è continua. Il problema cosa lo crea? il fatto che la funzione è infinitesima per $x->1^+$ (nota che per $x->1^-$ la funzione nemmeno è definita) e questo non ci va bene, perché ci si annulla l'argomento del logaritmo. In generale l'importanza dell'essere infinitesima, è data anche dal fatto che in $0^+$ gestiamo numeri positivi, in $0^-$ gestiamo numeri negativi, quindi bisogna tenere conto di questa informazione.
$lim_(x->1^+)logsqrt((x-1)/(3x^2+7x-6))=[log(0^+)/2]=-infty$
Quindi non ti apprecare più di tanto a questo discorso. Se vuoi un esempio di quando può esserti utile:
$lim_(x->1^-)x^2$ voglio sapere se la funzione tende a $1$ dall'alto o dal basso, allora tengo conto dell'apice.
$lim_(x->1^-)x^2=[(1^-)^2]$
cosa vuol dire $(1^-)^2$? è un numero $0
per quanto riguarda la seconda domanda, è abbastanza semplice.
A che potenza devi elevare il numero $e$ per ottenere un numero prossimo a $0$?
Considerando che $e^-1=1/e, e^-2=1/e^2$...$lim_(x->-infty)e^(x)=0$
essendo che $y=e^x <=> x=log(y)$ se $x->-infty$ vorrà dire che il logaritmo tende a $-infty$
Riassumendo il significato: le ascisse si avvicinano a $0$ da destra, il valore del logaritmo diverge a $-infty$. Se studi la funzione $a^x$ e studi la sua invertibilità, ne convieni da solo.
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