Dubbi teoria (limite, max e min assoluti)

[killa1]

Salve a tutti!
Dato che finalmente ho passato lo scritto di analisi 1 mi sto preparando per l'orale, e ci sono un paio di domande di teoria dal compito su cui ho dei dubbi..

1) Scrivere il significato di $\lim_(x->x_0) f(x) = -\infty$ . Fornire un esempio.

Allora io ho scritto $ AA M>0 EE \delta >0 t.c. AA x in X , |x-x_0| < \delta , f(x) < M $

Per l'esempio penso di aver sbagliato perchè ho scritto una funzione che tende a meno infinito solo per x->0 da sinistra, ma al momento non mi è venuto in mente nient'altro

2) Dire se la funzione $ f(x) = sgn x - x $ ha minimo assoluto e massimo assoluto nell'intervallo $ [-1, 1] $ , e giustificare la risposta.

Disegnando la funzione ho visto che secondo me non ammette nè massimo nè minimo perchè $ f(-1) = 0, f(0) = 0, f(1) = 0 $ e nei tratti compresi fra questi punti ci sono 2 rette (scusate non so come spiegarlo bene, o come far vedere il disegno )
Come spiegarlo formalmente?

[killa1]

Up.

Nessun'anima pia che può aiutarmi?

[Gatto891]

"killa":Salve a tutti!
Dato che finalmente ho passato lo scritto di analisi 1 mi sto preparando per l'orale, e ci sono un paio di domande di teoria dal compito su cui ho dei dubbi..

1) Scrivere il significato di $\lim_(x->x_0) f(x) = -\infty$ . Fornire un esempio.

Allora io ho scritto $ AA M>0 EE \delta >0 t.c. AA x in X , |x-x_0| < \delta , f(x) < M $

La definizione è (leggermente) sbagliata... per esempio la funzione $f(x) \equiv -1$ in $x_0 = 0$ verifica tutte le ipotesi ma è costante. L'idea è che, quando la funzione si avvicina ad $x_0$, i valori che assume sono sempre più piccoli, in particolare più piccoli di ogni numero (anche negativo ovviamente). Quindi hai:
Preso comunque $M>0, EE \delta > 0 $ t.c. $AA x in X , |x-x_0| < \delta \rarr f(x) < -M $ (con tutte le specifiche del caso).
Come esempio banale puoi prendere $-1/|x-x_0|$.

"killa":
2) Dire se la funzione $ f(x) = sgn x - x $ ha minimo assoluto e massimo assoluto nell'intervallo $ [-1, 1] $ , e giustificare la risposta.

Disegnando la funzione ho visto che secondo me non ammette nè massimo nè minimo perchè $ f(-1) = 0, f(0) = 0, f(1) = 0 $ e nei tratti compresi fra questi punti ci sono 2 rette (scusate non so come spiegarlo bene, o come far vedere il disegno )
Come spiegarlo formalmente?

La tua funzione altro non è che

$f(x) = {(1-|x|,if x>0),(0,if x=0),(-1+|x|,if x <0):}$

In particolare, dalle condizioni su $x$ hai che $-1 < f(x) < 1$ (disuguaglianze strette perchè $|x| \leq 1$ e $|x| > 0$ per $x!=0$ in cui la funzione è definita a parte) e poste $x_n = 1/n$ e $y_n = -1/n$, hai che le due successioni appartengono al tuo intervallo e $f(x_n) \rarr 1$ e $f(y_n) \rarr -1$ che quindi sono il tuo $\text(sup)$ e $\text(inf)$ per quanto visto fin'ora.