Dubbi teoria delle EDO
ciao 
volevo porre alcuni dubbi a riguardo delle equazioni differenziali ordinarie.. procedo:
1. La lipschitzianità ha un'importanza immediata nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, perché rientra nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy. in soldoni: perchè la $y^{\prime}=f(x,y)$ deve essere lipschitziana per garantire l' unicità di un problema di Cauchy?
2. Nello studio di ED lineari, ci si ritrova a studiare schemi e casistiche varie, qualora i coefficienti dell’equazione siano costanti.. tra questi, il caso in cui l’eq. caratteristica abbia autovalori con molteplicità algebrica maggiore di 1.. ho consultato vari testi, nessuno accenna a una spiegazione circa il fatto che le soluzioni dell’omogenea associata debbano moltiplicarsi per $x^(m-1)$ dove $m$ è la molteplicità algebrica.. mi chiedevo quale fosse il motivo.
Grazie $oo$
volevo porre alcuni dubbi a riguardo delle equazioni differenziali ordinarie.. procedo:
1. La lipschitzianità ha un'importanza immediata nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, perché rientra nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy. in soldoni: perchè la $y^{\prime}=f(x,y)$ deve essere lipschitziana per garantire l' unicità di un problema di Cauchy?
2. Nello studio di ED lineari, ci si ritrova a studiare schemi e casistiche varie, qualora i coefficienti dell’equazione siano costanti.. tra questi, il caso in cui l’eq. caratteristica abbia autovalori con molteplicità algebrica maggiore di 1.. ho consultato vari testi, nessuno accenna a una spiegazione circa il fatto che le soluzioni dell’omogenea associata debbano moltiplicarsi per $x^(m-1)$ dove $m$ è la molteplicità algebrica.. mi chiedevo quale fosse il motivo.
Grazie $oo$
Risposte
Brevemente ti butto alcuni spunti.
1) La lipschitzianità é necessaria per fare sì che lo schema di approssimazioni successive, che si usa per dimostrare il teorema di esistenza e unicità locale, converga. Ovvero dobbiamo fare sì che l'operatore integrale sia una contrazione e si possa applicare così il teorema di Banach-Caccioppoli
2) Chiarito il fatto che ad ogni equazione differenziale lineare di grado $m$ corrisponde un sistema differenziale lineare di dimensione $m$, la teoria delle equazione diff. lineari è inclusa in quella dei sistemi differeziali lineari. La comparsa di quei termini misteriosi è da imputare all'utilizzo della decomposizione di Jordan della matrice del sistema. Vedi ad esempio Hirsch, Smale - "Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra". Se ti interessa posso spiegare meglio
EDIT: Ti aggiungo un link che fa vedere l'utilizzo della forma di Jordan link
EDIT 2: Come scritto in questa mia risposta all'altra tua discussione, trovi tutto quanto concerne il punto 2) a pagina 32 del Perko.
1) La lipschitzianità é necessaria per fare sì che lo schema di approssimazioni successive, che si usa per dimostrare il teorema di esistenza e unicità locale, converga. Ovvero dobbiamo fare sì che l'operatore integrale sia una contrazione e si possa applicare così il teorema di Banach-Caccioppoli
2) Chiarito il fatto che ad ogni equazione differenziale lineare di grado $m$ corrisponde un sistema differenziale lineare di dimensione $m$, la teoria delle equazione diff. lineari è inclusa in quella dei sistemi differeziali lineari. La comparsa di quei termini misteriosi è da imputare all'utilizzo della decomposizione di Jordan della matrice del sistema. Vedi ad esempio Hirsch, Smale - "Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra". Se ti interessa posso spiegare meglio
EDIT: Ti aggiungo un link che fa vedere l'utilizzo della forma di Jordan link
EDIT 2: Come scritto in questa mia risposta all'altra tua discussione, trovi tutto quanto concerne il punto 2) a pagina 32 del Perko.
ciao Emar grazie per la risp e i link, mi sono stati utili
per quanto riguarda la lipschitzianità non mi spingo oltre, ne so proprio troppo poco.
per quanto concerne invece la risoluzione di sistemi di ED lineari.. mi scuso per il mio linguaggio poco formale e non addicentesi all'analisi matematica..
ho capito che, per la risolubilità di un sistema lineare di ED, la matrice dei coefficienti deve essere diagonalizzabile, in modo tale da avere tutti gli autovettori che ci servono per costruire la nostra base . Il teorema di diagonalizzabilità fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità, ossia la coincidenza tra molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di ciascun autovalore. Qualora ciò non si verifichi, serviranno nuovi autovettori. Qui interviene la decomposizione di Jordan della matrice dei coefficienti nella forma di Jordan $J$, utile per determinare la nuova base di autovettori impilati nella matrice diagonalizzante $H$. Purtroppo non mi è chiara la parte sulle catene di Jordan legata agli sviluppi in serie di Taylor (?) soluzioni del sistema..
grazie per la risp e i link, mi sono stati utiliper quanto riguarda la lipschitzianità non mi spingo oltre, ne so proprio troppo poco.
per quanto concerne invece la risoluzione di sistemi di ED lineari.. mi scuso per il mio linguaggio poco formale e non addicentesi all'analisi matematica..
ho capito che, per la risolubilità di un sistema lineare di ED, la matrice dei coefficienti deve essere diagonalizzabile, in modo tale da avere tutti gli autovettori che ci servono per costruire la nostra base . Il teorema di diagonalizzabilità fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità, ossia la coincidenza tra molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di ciascun autovalore. Qualora ciò non si verifichi, serviranno nuovi autovettori. Qui interviene la decomposizione di Jordan della matrice dei coefficienti nella forma di Jordan $J$, utile per determinare la nuova base di autovettori impilati nella matrice diagonalizzante $H$. Purtroppo non mi è chiara la parte sulle catene di Jordan legata agli sviluppi in serie di Taylor (?) soluzioni del sistema..
"Suv":
ho capito che, per la risolubilità di un sistema lineare di ED, la matrice dei coefficienti deve essere diagonalizzabile.
Direi di no. Un sistema diagonalizzabile è un sistema particolarmente semplice, ovvero esiste una base per cui le equazioni si possono disaccoppiare, ma questo non c'entra con la "risolubilità".
"Suv":
Qualora ciò non si verifichi, interviene la decomposizione di Jordan della matrice dei coefficienti. Purtroppo non mi è chiara la parte sulle catene di Jordan legata agli sviluppi in serie di Taylor (?) soluzioni del sistema..
La serie di Taylor non c'entra. Cerco di essere il più rapido possibile, trovi tutto nel Perko, le dimostrazioni su Hirsch-Smale:
[*:1823g96w]Ricorda che un modo di definire l'esponenziale è: \[e^x := \sum^\infty_{i=0} \frac{x^i}{i!}\][/*:m:1823g96w]
[*:1823g96w]Sulla traccia di questo definiamo l'esponenziale di un operatore (pensa ad una matrice) \[e^T:= \sum^\infty_{i=0} \frac{T^i}{i!}\][/*:m:1823g96w]
[*:1823g96w]Valgono tra le altre proprietà: \[TS = ST \implies e^{T + S} = e^Te^S\]
\[e^{PDP^{-1}}= Pe^{D}P^{-1}\]
\[e^{\text{diag}[\lambda_i]} = \text{diag}[e^{\lambda_i}]\][/*:m:1823g96w][/list:u:1823g96w]
Si ha quindi il:
Teorema fondamentale dei sistemi dinamici lineari. Dato un sistema \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} \) con \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) e dato iniziale \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) si ha come unica soluzione:
\[\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0\]
Che è una semplice consueguenza del fatto che \(\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}\)
Stop! Questo è quanto. Ora rimane solo capire come calcolare \(e^{A}\).
____________________________________________________________________________
Nel caso particolare che la matrice sia diagonalizzabile si ha:
\[\mathbf{x}(t) = e^{P\text{diag}[\lambda_i]P^{-1}t}\mathbf{x}_0 = Pe^{\text{diag}[e^{\lambda_{i}t}]}P^{-1}\mathbf{x}_0\]
E quindi si hanno solo termini \(e^t\).
Nel caso generale si sfrutta la decomposizione di Jordan (pagina 33 Perko) e si scrive:
\[A = S + N\]
dove $S$ è diagonalizzabile e $N$ nilpotente di ordine $k$. Si dimostra anche che le matrici $S$ e $N$ commutano. Si ha quindi:
\[\mathbf{x}(t) = e^{(S + N)t}\mathbf{x}_0 = (e^{St} e^{Nt})\mathbf{x}_0\]
Il primo fattore lo conosciamo, è l'esponenziale di una matrice diagonalizzabile, il secondo no. Ci resta quindi da calcolare \(e^{Nt}\). utilizziamo la definizione di esponenziale:
\[e^{Nt} = \sum^\infty_{i=0} \frac{N^it^i}{i!}\]
Ma $N$ è nilpotente! Quindi si avrà:
\[e^{Nt} = \sum^{k-1}_{i=0} \frac{N^it^i}{i!} = I + Nt + \frac{N^2t^2}{2} + \frac{N^3t^3}{6} + \dots + \frac{N^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!}\]
Non resta che moltiplicare i due esponenziali per il dato iniziale ottenendo così il vettore soluzione, ed ecco spiegato il mistero dei termini $t^k$
Come vedi nessuno sviluppo di Taylor, solo la definizione di esponenziale.Ho scritto un po' più di quanto avevo pensato, spero sia più o meno chiaro. In caso contrario ti rimando al sovra citato Perko e/o Hirsch-Smale.
grazie Emar, e soprattutto complimenti
"Suv":
grazie Emar, e soprattutto complimenti
Complimenti?! Mi sono limitato a esporre (di fretta e male) qualche passaggio matematico
Ci tengo in ultima a precisare che la decomposizione di Jordan è basata sulla forma canonica di Jordan. Infatti, data la matrice \(A\) se esiste una matrice \(P\) tale che:
\[P^{-1}AP = J\]
dove \(J\) è in forma di Jordan, che potremmo chiamare forma "diagonale sporca".
Se consideriamo un blocco elementare di Jordan \(J_k\) risulta chiaro che si può decomporre banalmente:
\[J_k = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_i & 0 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 0 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & \; & \; \\ \; & 0 & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & 0 \end{pmatrix} = D_k + M_k\]
Dove la prima matrice è una "diagonale pulita" e la seconda è nilpotente.
Ora, intuitivamente possiamo scrivere:
\[P^{-1}AP = J = D + M \ \to \ A = PJP^{-1} = P(D+M)P^{-1} = S + N\]
Dove $S$ è diagonalizzabile e $N$ nilpotente.
Ti lascio infine con il consiglio di sfogliarti a tempo perso le primissime pagine del Perko, ti saranno utili a chiarire tutto.
Alla prossima. Ciao
"Suv":
1. La lipschitzianità ha un'importanza immediata nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, perché rientra nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy. in soldoni: perchè la $y^{\prime}=f(x,y)$ deve essere lipschitziana per garantire l' unicità di un problema di Cauchy?
Perché, se la \(f\) non è lipschitziana rispetto ad $y$, l'unicità va a farsi benedire.
Un esempio classico è dato dal PdC:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= 3\ y^{2/3}(x) \\ y(0) &= 0\end{split}\right.
\]
nel quale la funzione $f(x,y):=3y^{2/3}$ (definita e continua ovunque in \(\mathbb{R}^2\)) non è lipschitziana intorno al punto iniziale $(0,0)$, poiché ha i rapporti incrementali:
\[
\frac{f(0,y) - f(0,0)}{y-0} = 3\ \frac{y^{2/3}}{y} = \frac{3}{y^{1/3}}
\]
non limitati per \(y\to 0\).
Infatti, il problema ha evidentemente la soluzione nulla \(w(x):=0\) e però ha anche infinite soluzioni diverse da $w$, ognuna delle quali data da:
\[
y_{h,k}(x) := \begin{cases} (x-k)^3 &\text{, se } x\geq k\\
0 & \text{, se } h< x< k\\
(x-h)^3 &\text{, se } x\leq h
\end{cases}
\]
con i parametri \(h\) e \(k\) scelti in modo che \(-\infty \leq h\leq 0 \leq k\leq +\infty\).[nota]Noto che $w$ si ottiene da $y_{h,k}$ scegliendo \(h=-\infty\) e \(k=+\infty\).[/nota]
"Emar":
1) La lipschitzianità é necessaria per fare sì che lo schema di approssimazioni successive, che si usa per dimostrare il teorema di esistenza e unicità locale, converga. Ovvero dobbiamo fare sì che l'operatore integrale sia una contrazione e si possa applicare così il teorema di Banach-Caccioppoli
Quanto evidenziato è falso.
Infatti, l'esistenza (locale) di soluzioni per un PdC del tipo:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= f\big( x , y(x)\big) \\ y(x_0) &= y_0\end{split}\right.
\]
può essere dimostrata sotto la sola ipotesi di continuità di $f$ intorno al punto iniziale $(x_0,y_0)$, attraverso la convergenza di un opportuno schema iterativo.[nota]Questo è il cosiddetto teorema di Peano.[/nota]
Quindi tra "lipschitzianità (locale)" ed "esistenza (locale) di soluzioni" non c'è alcun legame "forte".
Quello che succede è che l'ipotesi di lipschitzianità (locale) facilita la dimostrazione dell'esistenza (locale) di soluzioni.
Infatti, mentre nella dimostrazione del teorema di Peano serve passare attraverso le forche caudine della compattezza in $C$ per ottenere una soluzione locale come limite di una (sottosuccessione estratta da) successione approssimante costruita à la Eulero, sotto l'ipotesi di lipschitzianità la successione approssimante viene costruita con le iterate di Picard e la convergenza viene acquisita direttamente per tutta la successione (tramite maggiorazioni "tradizionali" o di tipo "funzionale")... Quindi la dimostrazione si semplifica parecchio.
Ti ringrazio Gugo per la dovuta correzione.
Se avessi risposto nel seguente modo la risposta sarebbe stata corretta?
Grazie in anticipo
Se avessi risposto nel seguente modo la risposta sarebbe stata corretta?
La lipschitzianità locale è necessaria affinchè sia garantita l'unicità della soluzione. Ciò infatti è garantito dal Teorema di Banach-Caccioppoli applicato all'operatore integrale associato al P.d.C., che, grazie alla lipschitzianità, è una contrazione.
Grazie in anticipo
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