Dubbi sull'unicità della soluzione

[goron1]

Ho ad esempio un esercizio su un equazione differenziale a variabili separabili del tipo $y^{\prime}=f(x)*y$, separo le variabili e trovo la soluzione.
Devo andarmi a studiare tutti i casi relativi ai valori che la y può assumere, al fine di potermi trovare il dominio $(a,b)$ (a cui appartengono le x) ci ciascuna soluzione.
Ottengo quindi varie soluzioni, tutte definite in un diverso dominio.
Devo "unificarle", andando a vedere la continuità tramite lo studio dei limiti.

Le mie domande sono:
1)Se riesco a verificarne la continuità, come unifico le soluzioni? Intendo dire che mi è capitato che, proprio a causa del diverso segno che ho dato al logaritmo per via del dominio, ho ottenuto diverse soluzioni (per ogni caso studiato) che variavano leggermente in un segno, quindi non sapevo come unificarle.
2)Se non riesco a verificarne la continuità, mi rimangono tante soluzioni definite in diversi domini?

[Fioravante Patrone1]

- questa e' lineare e quindi non hai problemi (ammesso che $f$ sia continua).
Qualcosa sulle equazioni differenziali a variabili separabili lo trovi qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
clicca su: Equazioni differenziali a variabili separabili.
Ti potrebbe servire: a parte la critica al metodo urang-utang© ci sono alcuni esempi di risoluzione che mi sembra potrebbero interessarti.

- quanto a considerare soluzione (nel senso classico) di una equazione differenziale una funzione che non sia definita su un intervallo, cio' non ha senso. Basta riflettere su cosa vuol dire avere una equazione differenziale (ammetto che molti le risolvono come se fossero in uno stato di trance che non gli permette di pensare).

[goron1]

Ciao ti ringrazio ancora.
Al .pdf in questione avevo già dato un'occhiata, ma in mezzo a tutto il materiale che mi è passato per questi giorni non ho letto in modo approfondito, ora guardo meglio.