Dubbi sulle successioni
Salve a tutti, stavo studiando gli spazi metrici compatti e chiusi e mi sono venuti dei dubbi sulle successioni. Per rendere il più chiaro possibile il tutto inizierò proprio dalle definizioni di questi due termini: Compatto: si dice che uno spazio metrico A è compatto se da ogni successione di suoi punti si può estrarre una sottosuccessione parziale convergente a un punto di A. Chiuso: uno spazio metrico si dice chiuso se il valore a cui tende ogni successione di suoi punti, appartiene allo spazio stesso. Dopo aver affrontato le precedenti definizioni, mi sono trovato davanti il seguente
Teorema: Sia M uno spazio metrico, T un suo sottoinsieme $T\subseteqM$
Allora:
1) se T è compatto, T è chiuso;
2) se T è chiuso, allora T è compatto se M è compatto. (T chiuso in un compatto è compatto).
Ora il dubbio che mi è venuto è il seguente: se una successione converge ad un limite $l$, ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite $l$??
Perchè questa domanda: perchè nel punto due richiede che M sia compatto. Ma allora dico: se T è chiuso ogni successione di suoi punti tende ad un punto appartenente allo spazio stesso e cioè a T, ma allora anche ogni sua sottosuccessione tende allo stesso punto appartente sempre a T quindi T è compatto. A cosa serve dire che M è compatto. Grazie per l'attenzione
In seguito alla modifica: ho provato a raggionarci sopra ed ho pensato: prendiamo il caso in cui M non sia compatto, allora data una successione, nessuna sua sottosuccessione appartiene ad M quindi se prendo una sottosuccessione di una successione di T, allora questa non è in T e quindi T non è compatto. Però se io avessi solo T come spazio, cioè non esistono altri spazi e non esiste M, allora T non è incluso in uno spazio più grande. Cioè se esistesse solo T e nient altro. T ha una successione ed essendo chiuso questa successione converge in un punto appartenente a T. Esistendo solo T come spazio, una sottosuccessione di T non può che convergere a T e quindi T è compatto.
Teorema: Sia M uno spazio metrico, T un suo sottoinsieme $T\subseteqM$
Allora:
1) se T è compatto, T è chiuso;
2) se T è chiuso, allora T è compatto se M è compatto. (T chiuso in un compatto è compatto).
Ora il dubbio che mi è venuto è il seguente: se una successione converge ad un limite $l$, ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite $l$??
Perchè questa domanda: perchè nel punto due richiede che M sia compatto. Ma allora dico: se T è chiuso ogni successione di suoi punti tende ad un punto appartenente allo spazio stesso e cioè a T, ma allora anche ogni sua sottosuccessione tende allo stesso punto appartente sempre a T quindi T è compatto. A cosa serve dire che M è compatto. Grazie per l'attenzione
In seguito alla modifica: ho provato a raggionarci sopra ed ho pensato: prendiamo il caso in cui M non sia compatto, allora data una successione, nessuna sua sottosuccessione appartiene ad M quindi se prendo una sottosuccessione di una successione di T, allora questa non è in T e quindi T non è compatto. Però se io avessi solo T come spazio, cioè non esistono altri spazi e non esiste M, allora T non è incluso in uno spazio più grande. Cioè se esistesse solo T e nient altro. T ha una successione ed essendo chiuso questa successione converge in un punto appartenente a T. Esistendo solo T come spazio, una sottosuccessione di T non può che convergere a T e quindi T è compatto.
Risposte
Ciao,Domo.
Nel frattempo che ragioni per scovare l'errore logico,sottile ma fondamentale,
nascosto tra le pieghe delle tue considerazioni
(se proprio non riuscirai fà un fischio,che ne riparliamo..),
t'invito a notare che la definizione di spazio metrico chiuso da te data escluderebbe un bel pò di possibili comportamenti al limite se,com'è invece indispensabile,non ipotizzi specificamente che le successioni presenti in essa sono convergenti:
la deduzione che tanto t'ha sorpreso,invece,è correttissima,
ed anche se ora ti sembra una nemica è proprio lei a far quadrare e compattare
(scusa,ma non potevo perder l'occasione
)
tutto il tuo discorso!
T'invito pure a notare che,se fosse come dici tu,
l'insieme $X=[1,+oo)subeRR$,che è chiuso con la metrica indotta su esso da quella euclidea
(è una veloce conseguenza del teorema della permanenza del segno generalizzato che puoi dimostrare per utile esercizio..),
sarebbe compatto;
solo che dalla successione ${n+1}_(n in NN)subeX$ non è possibile estrarre sottosuccesioni convergenti
( e pure questo puoi verificarlo per utile esercizio!) :
a questo punto il dubbio che ciò dipenda dal fatto che $RRsupX$ non è compatto potrebbe quanto meno venirti
!
Saluti dal web.
Nel frattempo che ragioni per scovare l'errore logico,sottile ma fondamentale,
nascosto tra le pieghe delle tue considerazioni
(se proprio non riuscirai fà un fischio,che ne riparliamo..),
t'invito a notare che la definizione di spazio metrico chiuso da te data escluderebbe un bel pò di possibili comportamenti al limite se,com'è invece indispensabile,non ipotizzi specificamente che le successioni presenti in essa sono convergenti:
la deduzione che tanto t'ha sorpreso,invece,è correttissima,
ed anche se ora ti sembra una nemica è proprio lei a far quadrare e compattare
(scusa,ma non potevo perder l'occasione
)tutto il tuo discorso!
T'invito pure a notare che,se fosse come dici tu,
l'insieme $X=[1,+oo)subeRR$,che è chiuso con la metrica indotta su esso da quella euclidea
(è una veloce conseguenza del teorema della permanenza del segno generalizzato che puoi dimostrare per utile esercizio..),
sarebbe compatto;
solo che dalla successione ${n+1}_(n in NN)subeX$ non è possibile estrarre sottosuccesioni convergenti
( e pure questo puoi verificarlo per utile esercizio!) :
a questo punto il dubbio che ciò dipenda dal fatto che $RRsupX$ non è compatto potrebbe quanto meno venirti
! Saluti dal web.
Mi potresti dare una giusta definizione di spazio metrico chiuso perchè sul libro non c'era facendo riferimento alle successioni e quindi quella l'ho trovata su internet ma a quanto pare è sbagliata. Da quello che ho capito dovrebbe essere: uno spazio metrico si dice chiuso se il valore a cui tende ogni successione convergente di suoi punti, appartiene allo spazio stesso. Cosi?
Invece per quanto riguarda l'esempio che mi hai mostrato vuoi farmi vedere che se uno spazio non è appunto compatto la sottosuccessione automaticamente non converge giusto?
Però ho ancora un dubbio, forse dovuto sempre al fatto che non conosco bene la definizione di spazio metrico chiuso:
allora se la definizione di spazio metrico chiuso è: si dice chiuso se il valore a cui tende ogni successione convergente di suoi punti, appartiene allo spazio stesso. Posso ragionare anche cosi:
A è chiuso quindi ogni successione convergente ha valore finito in A. Devo vedere se è compatto: sappiamo che ogni successione convergente è limitata, e per il Teorema di Bolzano Weierstrass, da ogni successione limitata esiste almeno una sua estratta convergente. Il che implicherebbe che A sia compatto. Ora che ci penso meglio però la definizione di compatto dice che ogni successione (anche non convergente) deve avere una sottosuccessione convergente e noi questo non lo possiamo vedere soltanto basandoci sul fatto che A sia chiuso giusto? Grazie per l'attenzione theras
Invece per quanto riguarda l'esempio che mi hai mostrato vuoi farmi vedere che se uno spazio non è appunto compatto la sottosuccessione automaticamente non converge giusto?
Però ho ancora un dubbio, forse dovuto sempre al fatto che non conosco bene la definizione di spazio metrico chiuso:
allora se la definizione di spazio metrico chiuso è: si dice chiuso se il valore a cui tende ogni successione convergente di suoi punti, appartiene allo spazio stesso. Posso ragionare anche cosi:
A è chiuso quindi ogni successione convergente ha valore finito in A. Devo vedere se è compatto: sappiamo che ogni successione convergente è limitata, e per il Teorema di Bolzano Weierstrass, da ogni successione limitata esiste almeno una sua estratta convergente. Il che implicherebbe che A sia compatto. Ora che ci penso meglio però la definizione di compatto dice che ogni successione (anche non convergente) deve avere una sottosuccessione convergente e noi questo non lo possiamo vedere soltanto basandoci sul fatto che A sia chiuso giusto? Grazie per l'attenzione theras
Mi pare tu stia andando nella direzione giusta,
anche se hai ancora un pò da "limare" per impadronirti dell'iniziale livello di questo argomento
(e credimi che quando l'avrai fatto nessuno te lo potrà toglier più dalla mente,
e tutto ciò che su essi si costruisce ti dovrebbe venire ben più naturale di quanto non lo siano stati questi concetti iniziali):
a lavoro compiuto capirai ancor meglio anche lo spirito del mio controesempio,
e ti verrà pure naturale la caratterizzazione dei compatti nello spazio euclideo ad n dimensioni dal quale l'ho tirato fuori e l'importanza di quest'ultima proprio nei teoremi che hai citato in ordine sparso nel post
(usandoli però,in questo contesto,in modo poco opportuno per chiarirti le idee..)!
Buone riflessioni:
saluti dal web.
anche se hai ancora un pò da "limare" per impadronirti dell'iniziale livello di questo argomento
(e credimi che quando l'avrai fatto nessuno te lo potrà toglier più dalla mente,
e tutto ciò che su essi si costruisce ti dovrebbe venire ben più naturale di quanto non lo siano stati questi concetti iniziali):
a lavoro compiuto capirai ancor meglio anche lo spirito del mio controesempio,
e ti verrà pure naturale la caratterizzazione dei compatti nello spazio euclideo ad n dimensioni dal quale l'ho tirato fuori e l'importanza di quest'ultima proprio nei teoremi che hai citato in ordine sparso nel post
(usandoli però,in questo contesto,in modo poco opportuno per chiarirti le idee..)!
Buone riflessioni:
saluti dal web.
scusa theras ma non so come andare avanti 
..mi puoi dare la giusta definizione di spazio chiuso intanto?
..mi puoi dare la giusta definizione di spazio chiuso intanto?
Ciao,Domo,e scusa il ritardo!
La definizione da te data è corretta,così come quella di spazio compatto;
per capire l'importanza dell'ipotesi di compattezza di M,
nella proposizione che hai giustamente enunciato nella forma "i chiusu in compatti sono compatti",
mi sà che ti converrebbe pensare ad una sua dimostrazione:
nel caso postala,e ne riparliamo..
Saluti dal web.
La definizione da te data è corretta,così come quella di spazio compatto;
per capire l'importanza dell'ipotesi di compattezza di M,
nella proposizione che hai giustamente enunciato nella forma "i chiusu in compatti sono compatti",
mi sà che ti converrebbe pensare ad una sua dimostrazione:
nel caso postala,e ne riparliamo..
Saluti dal web.
"Domodossola":
Invece per quanto riguarda l'esempio che mi hai mostrato vuoi farmi vedere che se uno spazio non è appunto compatto la sottosuccessione automaticamente non converge giusto?
Questo non è vero, almeno per come è detto. Se uno spazio non è compatto, non tutte le successioni ammettono sottosuccessioni convergenti, ma alcune sì e altre no in generale. Basta fare vedere un esempio di successione da cui non puoi estrarre una sottosuccessione convergente per dimostrare che uno spazio non è compatto, viceversa non puoi provare la compattezza con esempi perché dovresti provarli tutti.
"Domodossola":
A è chiuso quindi ogni successione convergente ha valore finito in A. Devo vedere se è compatto: sappiamo che ogni successione convergente è limitata, e per il Teorema di Bolzano Weierstrass, da ogni successione limitata esiste almeno una sua estratta convergente. Il che implicherebbe che A sia compatto. Ora che ci penso meglio però la definizione di compatto dice che ogni successione (anche non convergente) deve avere una sottosuccessione convergente e noi questo non lo possiamo vedere soltanto basandoci sul fatto che A sia chiuso giusto?
L'esempio di Theras mostra che un insieme chiuso non è detto che sia compatto.
A te serve dimostrare che però un insieme chiuso contenuto in un insieme compatto è compatto.
(Usando la notazione con cui hai scritto il teorema)
Prendi una successione di elementi di $T$.
Se sono elementi di $T$ sono ovviamente anche elementi di $M$.
Ma $M$ è compatto, quindi esiste ....
....
Prova a continuare da qui.
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