Dubbi sulle serie infinite
Dunque, mettiamo che ho di fronte una serie del tipo:
$\sum_{x=0}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)$,
sappiamo che il risultato di $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$
volevo chiedere due cose:
1)Innanzitutto dato che il primo termine viene $0*alpha^(0-1)/(0!)=0$, è possibile scrivere : $\sum_{x=0}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)=\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)$?
2)È possibile fare la seguente semplificazione in maniera tale da ricondurmi a $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$?
$\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/(x*(x-1)!)=\sum_{x=1}^\infty alpha^(x-1)/((x-1)!)$,
questa dovrebbe essere equivalente a questa $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$ dal momento che partiamo sempre da $alpha^0=1$ e al denominatore viene sempre $0!\=1$, giusto?
In generale è sempre possibile fare semplificazioni di questo tipo con le serie?
$\sum_{x=0}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)$,
sappiamo che il risultato di $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$
volevo chiedere due cose:
1)Innanzitutto dato che il primo termine viene $0*alpha^(0-1)/(0!)=0$, è possibile scrivere : $\sum_{x=0}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)=\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)$?
2)È possibile fare la seguente semplificazione in maniera tale da ricondurmi a $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$?
$\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/(x*(x-1)!)=\sum_{x=1}^\infty alpha^(x-1)/((x-1)!)$,
questa dovrebbe essere equivalente a questa $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$ dal momento che partiamo sempre da $alpha^0=1$ e al denominatore viene sempre $0!\=1$, giusto?
In generale è sempre possibile fare semplificazioni di questo tipo con le serie?
Risposte
Attenzione ad usare la $x$ per indicare gli indici interi: fa' come ti pare ma quando poi hai a che fare con serie di funzioni sono casini... 
Puoi farlo sempre, anzi, ti dirò di più, puoi fare una bella semplificazione a questo punto
$\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/((x)!)= \sum_{x=1}^\infty alpha^(x-1)/((x-1)!)$
dal momento che $\frac{x}{(x)!}= \frac{x}{x(x-1)!}= \frac{1}{(x-1)!}$
ovviamente per $x\ge 1$ beninteso (ricordo che usi $x$ per indicare l'indice intero!).
A questo punto puoi anche porre $k=x-1$ ed ottenere
$\sum_{x=1}^\infty alpha^(x-1)/((x-1)!) =\sum_{k=0}^\infty alpha^k/((k)!)$
Quello che ho detto poco fa.
Per quanto riguarda le semplificazioni con le serie queste due puoi farle sempre, ce ne sono altre che puoi fare di meno (spezzare le serie ad es., cioè $\sum (a_k+b_k)= \sum a_k+\sum b_k$, non vale sempre).
"carezzina":
1)Innanzitutto dato che il primo termine viene $0*alpha^(0-1)/(0!)=0$, è possibile scrivere : $\sum_{x=0}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)=\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/(x!)$?
Puoi farlo sempre, anzi, ti dirò di più, puoi fare una bella semplificazione a questo punto
$\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/((x)!)= \sum_{x=1}^\infty alpha^(x-1)/((x-1)!)$
dal momento che $\frac{x}{(x)!}= \frac{x}{x(x-1)!}= \frac{1}{(x-1)!}$
ovviamente per $x\ge 1$ beninteso (ricordo che usi $x$ per indicare l'indice intero!).
A questo punto puoi anche porre $k=x-1$ ed ottenere
$\sum_{x=1}^\infty alpha^(x-1)/((x-1)!) =\sum_{k=0}^\infty alpha^k/((k)!)$
"carezzina":
2)È possibile fare la seguente semplificazione in maniera tale da ricondurmi a $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$?
$\sum_{x=1}^\infty x*alpha^(x-1)/(x*(x-1)!)=\sum_{x=1}^\infty alpha^(x-1)/((x-1)!)$,
questa dovrebbe essere equivalente a questa $\sum_{x=0}^\infty alpha^(x)/(x!)=e^alpha$ dal momento che partiamo sempre da $alpha^0=1$ e al denominatore viene sempre $0!\=1$, giusto?
In generale è sempre possibile fare semplificazioni di questo tipo con le serie?
Quello che ho detto poco fa.
Per quanto riguarda le semplificazioni con le serie queste due puoi farle sempre, ce ne sono altre che puoi fare di meno (spezzare le serie ad es., cioè $\sum (a_k+b_k)= \sum a_k+\sum b_k$, non vale sempre).
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