Dubbi sulle equazioni differenziali di secondo ordine

[ampetrosillo]

Salve, mi sono imbattuto in un quesito di questo tipo:

$ { (y'' + ay' + by = 0),(y(0) = 0),(y'(0) = 0) :} $

dove in fondo c'è scritto "è necessario fare calcoli?".

Se lo chiede, un motivo ci sarà e a me, da un punto di vista teorico, verrebbe da dire: poichè l'equazione differenziale è omogenea, l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione due, ma poichè le condizioni iniziali sono entrambe nulle, abbiamo di fatto la soluzione banale ( $ y = 0 $ ). Solo che vorrei giustificarmela e non ci riesco. Esistono innumerevoli funzioni che abbiano un punto stazionario per $ x = 0 $, e che al contempo siano nulle in quel punto (ad esempio, $ f = x^2, f = x^3, f = e^(x^2) $ ecc.), del resto se l'equazione non è a coefficienti costanti, non siamo nemmeno limitati a soluzioni di tipo esponenziale (su cui vorrei fare un'ulteriore domanda). Vorrei appunto una spiegazione precisa del perchè di ciò.

Riguardo alle soluzioni di tipo esponenziale, sappiamo che le due soluzioni di un'equazione omogenea lineare del secondo ordine sono di tre tipi (trigonometriche se $ \Delta < 0 $, esponenziali se $ \Delta > 0 $, ecc.) ma, soprattutto nel secondo caso, non riesco a capire come possano due esponenziali comporre una base canonica. Infatti nella dimostrazione del teorema sullo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione omogenea lineare del secondo ordine, si danno precisi connotati alle soluzioni (o meglio, le si determinano descrivendo particolari problemi di Cauchy alle quali sono soluzione), e in pratica si dimostra che tutte le altre soluzioni sono loro combinazioni lineari proprio perchè, nella dimostrazione, si sono scelte due soluzioni che sono pari a $ 1 $ in una delle condizioni e pari a $ 0 $ nell'altra.

[stormy1]

per equazioni di questo tipo ogni problema di Cauchy ha un'unica soluzione
c'è un teorema analogo a quello di esistenza e unicità per le equazioni differenziali del primo ordine

[ampetrosillo]

Lo conosco il teorema, in pratica per queste equazioni (lineari di secondo ordine) la soluzione esiste ed è unica nell'intervallo di continuità di a(x), b(x), f(x) analogamente alle equazioni lineari di primo ordine. Il problema più che altro è la questione dello spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione lineare omogenea di secondo ordine. So che ha dimensione due, e so che ogni soluzione è combinazione lineare delle due soluzioni della base dello spazio, ma desideravo degli approfondimenti sulla questione (ricollegandomi magari al problema su descritto, cambiando anche i coefficienti a, b costanti con dei valori reali).