Dubbi sulle equazioni differenziali

[seltonray]

Buonasera ragazzi
In quest'altro thread vorrei esporvi i miei dubbi sulle equazioni differenziali:
- Nel consultare il seguente problema di Cauchy già svolto $ {(y'(t) = sqrt(|y(t)|) ),(y(t_0) = y_0):} $
in base a quale criterio discutiamo per y0 diverso da 0, y0 > 0 e y0 < 0 ?
Ottenendo ad esempio per y0 > 0 : $y(t) = 1/4*(2*sqrt(y_0)+t-t_0)^2$, perché risulta che $t > t_0 -2*sqrt(y_0)$ ?
- Avendo un esercizio del tipo: ${(y'(t) = (y(t)^3)/x),(y(1) = -1 oppure y(0) = 0 oppure y(0) = 1):}$, le tre condizioni iniziali come vanno applicate? Una alla volta?
- Svolgendo il seguente problema di Cauchy ${(y(t)' = - root (3) (y(t)+2)),(y(0) = -2):}$ troviamo la soluzione $y(t) = (-2t/3)^(3/2) - 2$
Controllando l'esercizio svolto, vedo che: $y(t) = (-2t/3)^(3/2) - 2$ per $t < 0$ e $y(t) = -2$ per $t >= 0$
e che per ogni $a <= 0$: $y(t) = ((2/3)*(a-t))^(3/2) - 2$ per $t < a$ e $y(t) = -2$ per $t >= a$
Come procedere per arrivare a queste conclusioni? Perché rientra il parametro a? Potremmo fermarci all'individuazione della soluzione $y(t) = (-2t/3)^(3/2) - 2$?

[Gi81]

Credo che ci sia qualcosa che non va nel primo esercizio:
${(y'(t) = -2y(t) ),(y(t_0) = y_0):}$ ha come soluzione $y(t)=y_0* e^(-2(t-t_0)$ comunque siano $y_0$ e $t_0$.

[seltonray]

Ciao Gi8
Scusami, errore mio
il problema di Cauchy è il seguente $ {(y'(t) = sqrt(|y(t)|) ),(y(t_0) = y_0):} $

P.S. Ho sistemato un po' le formule