Dubbi sulla teoria della misura

[nuwanda1]

Ho due dubbi molto banali sulla teoria della misura di Lebesgue:

1) Un insieme misurabile può avere un sottoinsieme non misurabile??;

2) Un insieme ha misura finita se e solo se è misurabile??;

[dissonance]

"nuwanda":1) Un insieme misurabile può avere un sottoinsieme non misurabile??;

Si. Se la misura è completa (quale è, ad esempio, la misura di Lebesgue ordinaria di \(\mathbb{R}\)) tutti i misurabili di misura nulla sono tali che ogni loro sottoinsieme è misurabile. Ma gli altri insiemi possono contenere quello che vogliono.

2) Un insieme ha misura finita se e solo se è misurabile??;

No. Un insieme misurabile può pure avere misura infinita.

[nuwanda1]

1) Ok... quindi anche un insieme misurabile in $RR$ può contenere un insieme non misurabile?? Ad esempio l'intervallo $(0,1)$ in $RR$ è misurabile, e ci posso trovare un insieme $V sube (0,1)$ tale che $V$ sia non misurabile??

2) Ok!! non ci avevo pensato, ma per esempio una semiretta in $RR$ è misurabile... giusto??

[dissonance]

Si a tutte e due.

[albertobosia]

"dissonance":[quote="nuwanda"]1) Un insieme misurabile può avere un sottoinsieme non misurabile??;

Si. Se la misura è completa (quale è, ad esempio, la misura di Lebesgue ordinaria di \(\mathbb{R}\)) tutti i misurabili di misura nulla sono tali che ogni loro sottoinsieme è misurabile. Ma gli altri insiemi possono contenere quello che vogliono.[/quote]
potresti fare un esempio di misura non completa in cui un insieme di misura 0 ha un sottoinsieme non misurabile?
mi vengono in mente solo esempi scemi tipo:
\(\mu(X)=1\Leftrightarrow(0,1)\subseteq X\)
\(\mu(X)=0\Leftrightarrow(0,1)\cap X\subset(0,1)\)
e tutto il resto è non misurabile, per cui \(\mu((\frac12,2))=0\) e \((\frac32,2)\) non è misurabile

[Paolo902]

Non so se è quello che cerchi, ma la $sigma$-algebra dei boreliani non è completa.

I boreliani hanno la cardinalità del continuo; l'insieme di Cantor è trascurabile, ma è pure lui continuo. Ne segue che i suoi sottoinsiemi sono più dei boreliani stessi quindi ve ne è almeno uno che non è misurabile.

[dissonance]

Un esempio più facile è in \(\mathbb{R}^2\). Si può costruire una \(\sigma\)-algebra su \(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) come prodotto di due \(\sigma\)-algebre di Lebesgue su \(\mathbb{R}\). Il risultato è una cosa non completa: preso \(V\subset\mathbb{R}\) non misurabile (V sta per Vitali), l'insieme \(V \times \{0\}\subset \mathbb{R}^2\) non può essere misurabile ma è contenuto in una retta, che nel piano ha misura nulla.

@albertobosia: Per i dettagli di questa costruzione aspetta un corso di analisi superiore all'università, queste cose si fanno sempre.

[albertobosia]

uhm... non mi torna una cosa...
\(V\times\mathbb R\) è non misurabile (come anche \(V\times[0,1]\)), ma perché \(V\times\{0\}\) non ha misura 0? (non può avere nessuna misura positiva, chiaramente)

devo confessare inoltre che odio sentirmi dire "aspetta il tale corso per capire queste cose", sia per il fatto che mi sento un cretino, sia perché li trovo poco costruttivi. apprezzo molto di più i consigli del tipo "sul tale libro l'argomento viene trattato in modo completo"

[gugo82]

Per quanto riguarda la terminologia, "insieme misurabile" in questo contesto vuol dire insieme appartenente alla \(\sigma\)-algebra su cui è definita la misura.
Quindi, l'insieme \(V\times \{0\}\) non è misurabile (ossia non è possibile assegnargli una misura) nonostante esso sia contenuto nella retta \(\mathbb{R}\times \{0\}\) che è misurabile ed ha misura nulla.