Dubbi sulla dimostrazione del teorema sull'indice
Salve a tutti, sto cercando di imparare di imparare la dimostrazione del teorema degli indici ma ho alcune difficoltà su un paio di passaggi.
Voglio dimostrare che l'indice può assumere solo valori $ in ZZ$.
Parto da:
$Ind\gamma (z)= 1/(2\pii)$$\int_\gamma (\gamma(s))^{\prime}/(\gamma(s)-z)ds$
allora fissato un generico $z in CC - {\gamma^*}$ ho che ponendo
$w=\int_\gamma (\gamma(s))^{\prime}/(\gamma(s)-z)ds$
affinché l'indice possa assumere i valori richiesti ho che:
$w/ (2 \pi i) in ZZ hArr e^w =1 $
prima domanda che sarà banale ma non riesco a trovare la risposta: perché proprio $e^w = 1 $ ?
L'unica spiegazione a cui sono arrivato è la seguente: dalle proprietà dell'esponenziale complesso so che il suo periodo è $2 \pi i$,so anche che $e^z = e ^ (x + iy) = e^x e^(iy) = e^x(cos y + i sin y)$ e inoltre se passassi ai logaritmi avrei:
$ln e^w = ln 1 + i(\theta+2k\pi)$
cioè
$w= 2k\pi i$ dove dividendolo per $2 \pi i$ mi rimarrebbe solo $k$ i cui valori $k in ZZ$. E' sufficiente questo o c'è una motivazione più "profonda"?
inoltre più avanti nella dimostrazione dice che ponendo:
$\varphi(t)=e^w$ dove in $w$ fisso gli estremi d'integrazione tra $\alpha$ e $t$ con $\alpha<=t<=\beta$ (estremi del cammino che poi essendo chiuso dovrebbero coincidere), posso ricondurre la dimostrazione di $e^w=1$ a $\varphi(\beta)=1$ e questo proprio mi sfugge, perché proprio =1?
A priori qui se svolgessi i passaggi potrei solo concludere che:
$e^(\phi(t)-\phi(alpha))=1$
quindi da dove deduco la condizione su $\varphi(\beta)$?
Spero di essermi più o meno spiegato, grazie a chiunque risponderà.
Voglio dimostrare che l'indice può assumere solo valori $ in ZZ$.
Parto da:
$Ind\gamma (z)= 1/(2\pii)$$\int_\gamma (\gamma(s))^{\prime}/(\gamma(s)-z)ds$
allora fissato un generico $z in CC - {\gamma^*}$ ho che ponendo
$w=\int_\gamma (\gamma(s))^{\prime}/(\gamma(s)-z)ds$
affinché l'indice possa assumere i valori richiesti ho che:
$w/ (2 \pi i) in ZZ hArr e^w =1 $
prima domanda che sarà banale ma non riesco a trovare la risposta: perché proprio $e^w = 1 $ ?
L'unica spiegazione a cui sono arrivato è la seguente: dalle proprietà dell'esponenziale complesso so che il suo periodo è $2 \pi i$,so anche che $e^z = e ^ (x + iy) = e^x e^(iy) = e^x(cos y + i sin y)$ e inoltre se passassi ai logaritmi avrei:
$ln e^w = ln 1 + i(\theta+2k\pi)$
cioè
$w= 2k\pi i$ dove dividendolo per $2 \pi i$ mi rimarrebbe solo $k$ i cui valori $k in ZZ$. E' sufficiente questo o c'è una motivazione più "profonda"?
inoltre più avanti nella dimostrazione dice che ponendo:
$\varphi(t)=e^w$ dove in $w$ fisso gli estremi d'integrazione tra $\alpha$ e $t$ con $\alpha<=t<=\beta$ (estremi del cammino che poi essendo chiuso dovrebbero coincidere), posso ricondurre la dimostrazione di $e^w=1$ a $\varphi(\beta)=1$ e questo proprio mi sfugge, perché proprio =1?
A priori qui se svolgessi i passaggi potrei solo concludere che:
$e^(\phi(t)-\phi(alpha))=1$
quindi da dove deduco la condizione su $\varphi(\beta)$?
Spero di essermi più o meno spiegato, grazie a chiunque risponderà.
Risposte
"djyoyo":
...affinché l'indice possa assumere i valori richiesti ho che:
$w/ (2 \pi i) in ZZ hArr e^w =1 $
prima domanda che sarà banale ma non riesco a trovare la risposta: perché proprio $e^w = 1 $ ?
Va bene la spiegazione a cui sei arrivato: $e^w = 1$ se e solo se il numero complesso $w$ ha parte reale nulla e parte immaginaria multiplo intero di $2\pi$.
inoltre più avanti nella dimostrazione dice che ponendo:
$\varphi(t)=e^w$ dove in $w$ fisso gli estremi d'integrazione tra $\alpha$ e $t$ con $\alpha<=t<=\beta$ (estremi del cammino che poi essendo chiuso dovrebbero coincidere), posso ricondurre la dimostrazione di $e^w=1$ a $\varphi(\beta)=1$ e questo proprio mi sfugge, perché proprio =1?
A priori qui se svolgessi i passaggi potrei solo concludere che:
$e^(\phi(t)-\phi(alpha))=1$
quindi da dove deduco la condizione su $\varphi(\beta)$?
Tu poni $\varphi(t) := \exp(\int_{\alpha}^t \frac{\varphi'(s)}{\varphi(s)-z} ds)$, $t\in [\alpha, \beta]$.
In particolare $\varphi(\beta) = e^w$ e, per quanto detto prima, devi dimostrare che $\varphi(\beta) = 1$ (in modo tale che $w=2k\pi i$ per un valore intero di $k$).
grazie per la risposta, ma ho ancora dei dubbi sulla parte del $\varphi(\beta)=1$
Mi spiego; ponendo:
$varphi(t)=e^(\int_{\alpha}^{t} (\gamma'(s))/(\gamma(s)-z) ds)$ per $\alpha<=t<=\beta$
a questo punto, supponendo che l'integrale vale $\phi(s)$, ho che:
$varphi(t)= e^ (\phi(t) - phi(\alpha))$ con t sempre libero di variare.
a questo punto non capisco perché passo dal dover dimostrare che $\varphi(t)=e^w=1$ a $\varphi(\beta)=1$ ?! Perchè tutto va a dipendere solo dal secondo estremo di integrazione? So che dev'esserci un passaggio ovvio, ma non lo "vedo"!
Mi spiego; ponendo:
$varphi(t)=e^(\int_{\alpha}^{t} (\gamma'(s))/(\gamma(s)-z) ds)$ per $\alpha<=t<=\beta$
a questo punto, supponendo che l'integrale vale $\phi(s)$, ho che:
$varphi(t)= e^ (\phi(t) - phi(\alpha))$ con t sempre libero di variare.
a questo punto non capisco perché passo dal dover dimostrare che $\varphi(t)=e^w=1$ a $\varphi(\beta)=1$ ?! Perchè tutto va a dipendere solo dal secondo estremo di integrazione? So che dev'esserci un passaggio ovvio, ma non lo "vedo"!
(C'è un po' di confusione con le notazioni, ho scritto anche io $\varphi$ al posto di $\gamma$ nell'integrale.)
Tu devi dimostrare che $\varphi(\beta) = 1$ perché, per quanto detto all'inizio, ciò equivale a dire che $\phi(\beta) = 2k\pi i$ con $k$ intero, che è ciò che vuoi dimostrare.
In generale non è vero che $\varphi(t) = 1$ per ogni $t\in [\alpha, \beta]$; la funzione che si dimostra essere costante è $\varphi /(\gamma - z)$.
Tu devi dimostrare che $\varphi(\beta) = 1$ perché, per quanto detto all'inizio, ciò equivale a dire che $\phi(\beta) = 2k\pi i$ con $k$ intero, che è ciò che vuoi dimostrare.
In generale non è vero che $\varphi(t) = 1$ per ogni $t\in [\alpha, \beta]$; la funzione che si dimostra essere costante è $\varphi /(\gamma - z)$.
"Rigel":
(C'è un po' di confusione con le notazioni, ho scritto anche io $\varphi$ al posto di $\gamma$ nell'integrale.)
Tu devi dimostrare che $\varphi(\beta) = 1$ perché, per quanto detto all'inizio, ciò equivale a dire che $\phi(\beta) = 2k\pi i$ con $k$ intero, che è ciò che vuoi dimostrare.
In generale non è vero che $\varphi(t) = 1$ per ogni $t\in [\alpha, \beta]$; la funzione che si dimostra essere costante è $\varphi /(\gamma - z)$.
Per le notazioni, non preoccuparti, avevo capito quello che volevi dire
Ehm.. ho avuto modo di riguardare ma probabilmente sono tardo io.
$\varphi(t)= e^(\phi(t)-\phi(\alpha))$ e fin qui ok, prima ho detto che $e^w =1$ e i valori che mi occorrono sono $w=2k\pi i$ quindi è come se dovessi ricondurmi a $\phi(t) -\phi(\alpha) = 2k\pi i$. Per $t=\beta$ ho che $\phi(\beta)-phi(\alpha) = 2k \pi i$ ma in quello che dici tu che fine fa $\phi(\alpha)$? Il fatto che non ne tieni conto è legato alla curva che è chiusa e $\alpha=\beta$?
La seconda parte del teorema che riguarda un po' di calcoli a partire da $\(varphi(t))/(\gamma(t)-z)$ mi è chiara, avevo solo dubbi su quel passaggio, grazie per la disponibilità!
Beh, $\phi(\alpha)=0$ per definizione.
"Rigel":
Beh, $\phi(\alpha)=0$ per definizione.
Era questo il dettaglio che mi mancava!!
finalmente tutto torna! Ho litigato un bel po' con il Rudin per decodificare quella frase in cui riassumeva questi due passaggi! Grazie mille
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