Dubbi sulla differenziabilità in R^n
Salve...ho dei dubbi con il legame che intercorre tra differenziabilità e derivabilità per funzioni a più variabili:
il teorema di condizione sufficiente di differenziabilità afferma che, data una funzione f:A⊆Rn→R, con x0∈A, e ipotizzando che le derivate parziali esistano in un intorno di x0 e siano continue in x0, allora f è differenziabile in tutto A. Quindi la funzione si dice di classe C1(A) e si scrive f∈C1(A).
Dunque se f∈C1(A)⇒f differenziabile in A
ma l'implicazione inversa non vale!
Ma come è possibile che prima si afferma che se f è differenziabile allora implica derivabilità, continuità e piano tangente e dopo sembra affermarsi il suo contrario (l'implicazione inversa non vale)??
qualcuno in poche e coincise parole può darmi una spiegazione??
il teorema di condizione sufficiente di differenziabilità afferma che, data una funzione f:A⊆Rn→R, con x0∈A, e ipotizzando che le derivate parziali esistano in un intorno di x0 e siano continue in x0, allora f è differenziabile in tutto A. Quindi la funzione si dice di classe C1(A) e si scrive f∈C1(A).
Dunque se f∈C1(A)⇒f differenziabile in A
ma l'implicazione inversa non vale!
Ma come è possibile che prima si afferma che se f è differenziabile allora implica derivabilità, continuità e piano tangente e dopo sembra affermarsi il suo contrario (l'implicazione inversa non vale)??
qualcuno in poche e coincise parole può darmi una spiegazione??
Risposte
La differenziabilità implica la continuità della funzione in quel punto e l'esistenza delle derivate parziali in quello stesso punto; ma non l'esistenza e la continuità delle derivate parziali in tutto un intorno del punto.
D'altra parte, ciò non si verifica nemmeno nel caso di funzioni di una sola variabile, i.e. non è affatto vero che "\(f \text{ derivabile in } x_0 \Rightarrow f^\prime \text{ continua intono a } x_0\): ad esempio, guarda al comportamento della funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
in \(0\).
D'altra parte, ciò non si verifica nemmeno nel caso di funzioni di una sola variabile, i.e. non è affatto vero che "\(f \text{ derivabile in } x_0 \Rightarrow f^\prime \text{ continua intono a } x_0\): ad esempio, guarda al comportamento della funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
in \(0\).
ok grazie...ho capito finalmente!!!;)
Ciao!
Non è che innanzitutto stai confondendo derivabilita locale della f,rispetto ad ogni singola componente
(in effetti indispensabile,a norma di definizione,per la sua differenziabilità..),
unitamente all'ulteriore ipotesi di continuità locale di tali derivate parziali,
con la differenziabilità di f in tutto A?
Quel teorema non si può invertire perchè esistono controesempi(li trovi certamente su libro o appunti..)
di funzioni,differenziabili in un punto $x_0 inA$,dotate in esso di derivate rispetto ad ogni singola componente
(condizione,questa,indispensabile a norma di definizione per potersi anche solo parlare di differenziabilità in $x_0$..),
senza che però queste ultime siano necessariamente tutte continue in tal punto:
forse il problema è che stai dando per scontato,quando non lo è affatto,come,
se c'è la derivabilità parziale in tal punto rispetto ad ogni componente
(come appunto richiesto implicitamente per indispensabile nella def. di diff.),
queste ultime funzioni sono automaticamente continue in un intorno di $x_0$..
Fà un fischio,se ancora non è chiaro:
saluti dal web.
Edit:
m'arrendo a Signora Contemporaneità,anche se non capisco perchè a volte il software m'avverte ed altre no..
Non è che innanzitutto stai confondendo derivabilita locale della f,rispetto ad ogni singola componente
(in effetti indispensabile,a norma di definizione,per la sua differenziabilità..),
unitamente all'ulteriore ipotesi di continuità locale di tali derivate parziali,
con la differenziabilità di f in tutto A?
Quel teorema non si può invertire perchè esistono controesempi(li trovi certamente su libro o appunti..)
di funzioni,differenziabili in un punto $x_0 inA$,dotate in esso di derivate rispetto ad ogni singola componente
(condizione,questa,indispensabile a norma di definizione per potersi anche solo parlare di differenziabilità in $x_0$..),
senza che però queste ultime siano necessariamente tutte continue in tal punto:
forse il problema è che stai dando per scontato,quando non lo è affatto,come,
se c'è la derivabilità parziale in tal punto rispetto ad ogni componente
(come appunto richiesto implicitamente per indispensabile nella def. di diff.),
queste ultime funzioni sono automaticamente continue in un intorno di $x_0$..
Fà un fischio,se ancora non è chiaro:
saluti dal web.
Edit:
m'arrendo a Signora Contemporaneità,anche se non capisco perchè a volte il software m'avverte ed altre no..
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