Dubbi sulla differenziabilità di funzioni a due variabili
Salve a tutti,sono uno studente di Ingegneria che sta preparando l'esame di analisi 2.. Mi chiedevo se avendo una funzione a due variabili e dovendone calcolare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità; se essa non risultasse continua ma avrebbe derivate parziali finite e non nulle sarebbe ugualmente differenziabile? Grazie in anticipo per la risposta. 
Risposte
Ciao!
La differenziabilità implica sia la derivabilità che la continuità.
In genere non vale il viceversa: se una funzione non è continua o derivabile, tanto meno sarà differenziabile.
La differenziabilità implica sia la derivabilità che la continuità.
In genere non vale il viceversa: se una funzione non è continua o derivabile, tanto meno sarà differenziabile.
Ti ringrazio per la risposta immediata. Quindi se ho ben capito se non è continua nel punto non sarà neanche derivabile in esso?
Non sarà differenziabile. La derivabilità è più debole della differenziabilità e una funzione discontinua in un punto potrebbe essere tranquillamente derivabile in un punto.
Prendi la funzione $f(x,y)={(0 if xy=0),(1 if xyne0):}$
La funzione è discontinua su entrambi gli assi.
Prendi ora il punto $(0,0) inRR^2$ allora
$f_x=lim_(t->0)(f(t,0)-f(0,0))/t=0$
poiché $f(0,0)=0$ ed essendo $t*0=0$ anche $f(t,0)=0$
Allo stesso modo puoi mostrare che $f_y=0$. Quindi la funzione è derivabile in $(0,0)$ nonostante sia discontinu
Prendi la funzione $f(x,y)={(0 if xy=0),(1 if xyne0):}$
La funzione è discontinua su entrambi gli assi.
Prendi ora il punto $(0,0) inRR^2$ allora
$f_x=lim_(t->0)(f(t,0)-f(0,0))/t=0$
poiché $f(0,0)=0$ ed essendo $t*0=0$ anche $f(t,0)=0$
Allo stesso modo puoi mostrare che $f_y=0$. Quindi la funzione è derivabile in $(0,0)$ nonostante sia discontinu
Grazie mille, tutto chiaro.
Ciao, avrei un'altra domanda da fare sul calcolo della differenziabilià per quanto riguarda le derivate parziali.. Se calcolando le derivate parziali tramite il rapporto incrementale in un punto (Xo,Yo) di una funzione sempre a due variabili, e ad esempio la derivata parziale rispetto ad una variabile dà come risultato INFINITO mentre l'altra da come risultato un numero FINITO la funzione non si potrà definire differenziabile giusto? Grazie in anticipo.
Ciao!
Per la prossima volta apri una nuova discussione se cambi argomento
Si esatto. Questo perché quando una funzione è differenziabile le derivate direzionali coincidono tutte con il valore del differenziale nel punto, su quella direzione, che è sempre finito. Pertanto quando almeno una derivata direzionale viene infinita, la funzione non potrà essere differenziabile.
Per la prossima volta apri una nuova discussione se cambi argomento
Si esatto. Questo perché quando una funzione è differenziabile le derivate direzionali coincidono tutte con il valore del differenziale nel punto, su quella direzione, che è sempre finito. Pertanto quando almeno una derivata direzionale viene infinita, la funzione non potrà essere differenziabile.
Con " le derivate direzionali coincidono tutte con il valore del differenziale nel punto" intendi dire che devono valere 0??
Non proprio.
Allora sostanzialmente la risposta al tuo quesito è positiva, nel senso che se una delle derivate parziali non è finita, allora non puoi parlare di differenziabilità.
Un plus è il seguente: una funzione $f:AsubsetRR^n->RR$($A$ aperto) si dice differenziabile in $x_0$ se esiste una applicazione lineare $L:RR^n->RR$ per cui valga $f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(norm(h))$ in almeno un intorno di $h=0$
Da questo si ottiene che se $v$ è un vettore non nullo allora
Da questo segue che una funzione differenziabile deve avere tutte le derivate direzionali finite
La funzione $L$ si denota anche con $df(x_0)$ ossia differenziale di $f$ nel punto $x_0$
Allora sostanzialmente la risposta al tuo quesito è positiva, nel senso che se una delle derivate parziali non è finita, allora non puoi parlare di differenziabilità.
Un plus è il seguente: una funzione $f:AsubsetRR^n->RR$($A$ aperto) si dice differenziabile in $x_0$ se esiste una applicazione lineare $L:RR^n->RR$ per cui valga $f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(norm(h))$ in almeno un intorno di $h=0$
Da questo si ottiene che se $v$ è un vettore non nullo allora
$(partialf)/(partialv)(x_0)=lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t=L(v)$
Da questo segue che una funzione differenziabile deve avere tutte le derivate direzionali finite
La funzione $L$ si denota anche con $df(x_0)$ ossia differenziale di $f$ nel punto $x_0$
Perfetto grazie!!
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