Dubbi sulla definizione di differenziale.

[turtle87crociato]

Leggo dalla definizione di differenziale che esso dipende dalla derivata della funzione nel punto $x_0$ e dall'incremento della variabile indipendente, $\Delta x$.

Data quindi la definizione:

$df = f'(x_0) \Delta x $, che tipo di funzione è quella associata ad essa.

E' per caso una funzione a più variabili? Il differenziale, cioè, è funzione delle variabili indipendenti $f' (x_0)$ e $\Delta x$, ossia una funzione del tipo generico:

$f : (x, y) -> t$, con $x$ e $y$ che possono essere vettori o scalari, così come $t$ (in questo caso sono solo numeri reali) ?

La richiesta è fatta poichè mi preme sapere qualcosa su di esse per un certo discorso che devo avviare in fisica, prima di studiarlo compiutamente in matematica. Perdonate le imprecisioni nel mio discorso.

[Lord K]

La tua definizione è un poco confusionaria. La notazione che usi è simile (ma non uguale) a quella di Liebnitz, originariamente infatti:

$df=f'(x)dx$

ma qui il modo in cui lui usava queste notazioni ci indurrebbe ad alcuni errori, meglio quindi la definizione:

$(df)/(dx)=f'(x)$

anche se il significato è sostanzialmente lo stesso. Se usassimo la definzione con i $Delta$...

$Deltaf = f'(psi)Deltax$, per un opportuno $psi$

ovvero una applicazione del teorema del valor medio.