Dubbi sulla continuità uniforme.
Ciao a tutti, è da un pò che non vi tartasso con i miei dubbi.
Ho un pò di confusione sull'argomento dell'uniforme continuità.
In generale, quando devo vedere se una funzione è uniformemente continua in A, posso:
1)vedere se la funzione è derivabile e se la derivata è limitata.
2) vedere se la funzione è lipschiztiana (che è praticamente analogo a sopra)
3)se f è continua in un intervallo compatto $[a.b]$
Inoltre, se ho una semiretta $(a,+00)$, e se la funzione f ha un asintoto, allora la funzione è u.c.
Se invece devo dimostrare che una funzione non è u.c. in un intervallo $(a,b)$, posso provare a negare la definizione: fisso un $eps>0$ e guardo se per ogni $delta>0$ posso trovare $x$ e $y$ tali che $|x-y|=eps$. Questo è quello che faccio ad esempio per dimostrare che $1/x$ non è u.c. in $(0,1)$
Posso poi invertire il toerema dell'asintoto? se cioè dimostro che , qualsiasi siano $A$ e $B$, la retta $AX+B$ non sta sopra $|f(x)|$? E se si, come si dimostra?
Il fatto è che sul mio libro c'è solo la dimostrazione del teorema di Heine-Cantor, che se f è continua in un compatto allora è u.c.
Tuttu gli altri criteri sono così, a senso...E vorrei almeno avere una traccia per le relative dimostrazioni, in particolar modo quello dell'asintoto. Ovviamente se ho fatto confusioni con gli enunciati fatemi sapere.
Un'altra cosa: se voglio dimostrare che una funzione non è continua in $A$ basta che trovi due sottosuccessioni $x_n$ e $y_n$a valori in $A$, entrambe convergenti a $x_0$ ma tali che $lim f(x_n)!=limf(y_n)$, oppure ne estraggo una sola $x_n$ tale che $limf(x_n)!=f(x_0)$. Ma se l'intervallo in questione è una semiretta, e le successioni non sono convergenti?
Ad esempio, per dimostrare che $sinx$ in $(a,+00)$ non ha limite, posso estrarre una successione $x_n$ e una $y_n$, entrambe divergenti, ma con $|x_n-y_n|$ infinitesima e tali che $f(x_n)$ abbia un certo limite e $f(y_n)$ ne abbia un altro?
$sin x$ è però continua in $(a,+oo)$, e allora è anche u.c.
Ora mi chiedo: $sin(x^2)$ è u.c. in $(a,+oo)$? No credo, ma come potrei dimostrarlo? Quali successione dovrei estrarre?
Scusate per la forma sconnessa di questo post, ma ho scoperto di avere delle gravi lacune su questo argomento, e per quanto faccia mi si confondono solo le idee. Mi sarebbe molto di aiuto qualunque tentativo chiarificatore.
grazie mille, come al solito
Ho un pò di confusione sull'argomento dell'uniforme continuità.
In generale, quando devo vedere se una funzione è uniformemente continua in A, posso:
1)vedere se la funzione è derivabile e se la derivata è limitata.
2) vedere se la funzione è lipschiztiana (che è praticamente analogo a sopra)
3)se f è continua in un intervallo compatto $[a.b]$
Inoltre, se ho una semiretta $(a,+00)$, e se la funzione f ha un asintoto, allora la funzione è u.c.
Se invece devo dimostrare che una funzione non è u.c. in un intervallo $(a,b)$, posso provare a negare la definizione: fisso un $eps>0$ e guardo se per ogni $delta>0$ posso trovare $x$ e $y$ tali che $|x-y|
Posso poi invertire il toerema dell'asintoto? se cioè dimostro che , qualsiasi siano $A$ e $B$, la retta $AX+B$ non sta sopra $|f(x)|$? E se si, come si dimostra?
Il fatto è che sul mio libro c'è solo la dimostrazione del teorema di Heine-Cantor, che se f è continua in un compatto allora è u.c.
Tuttu gli altri criteri sono così, a senso...E vorrei almeno avere una traccia per le relative dimostrazioni, in particolar modo quello dell'asintoto. Ovviamente se ho fatto confusioni con gli enunciati fatemi sapere.
Un'altra cosa: se voglio dimostrare che una funzione non è continua in $A$ basta che trovi due sottosuccessioni $x_n$ e $y_n$a valori in $A$, entrambe convergenti a $x_0$ ma tali che $lim f(x_n)!=limf(y_n)$, oppure ne estraggo una sola $x_n$ tale che $limf(x_n)!=f(x_0)$. Ma se l'intervallo in questione è una semiretta, e le successioni non sono convergenti?
Ad esempio, per dimostrare che $sinx$ in $(a,+00)$ non ha limite, posso estrarre una successione $x_n$ e una $y_n$, entrambe divergenti, ma con $|x_n-y_n|$ infinitesima e tali che $f(x_n)$ abbia un certo limite e $f(y_n)$ ne abbia un altro?
$sin x$ è però continua in $(a,+oo)$, e allora è anche u.c.
Ora mi chiedo: $sin(x^2)$ è u.c. in $(a,+oo)$? No credo, ma come potrei dimostrarlo? Quali successione dovrei estrarre?
Scusate per la forma sconnessa di questo post, ma ho scoperto di avere delle gravi lacune su questo argomento, e per quanto faccia mi si confondono solo le idee. Mi sarebbe molto di aiuto qualunque tentativo chiarificatore.
grazie mille, come al solito
Risposte
Ad esempio, per dimostrare che sinx in (a,+00) non ha limite, posso estrarre una successione xn e una yn, entrambe divergenti, ma con |xn-yn| infinitesima e tali che f(xn) abbia un certo limite e f(yn) ne abbia un altro?
$x_n-y_n$ non deve essere infinitesima - devi chiedere solo che $x_n$ e $y_n$ siano divergenti ( e che $f$ tenda a valoro diversi su ognuna delle due)
sinx è però continua in (a,+∞), e allora è anche u.c.
??? questo argomento non è corretto -- $x^2$ è continua su $RR$ ma non è u.c. su $RR$ (se ho capito ciò che volevi dire)
Ora mi chiedo: sin(x2) è u.c. in (a,+∞)? No credo, ma come potrei dimostrarlo? Quali successione dovrei estrarre?
Per dimostrare che $f$ non è u.c. in un insieme $A$, qui sì che devi trovare due successioni $x_n$ e $y_n$ in $A$ con $|x_n-y_n|\to0$ e con $f$ che tende a due limiti diversi su
ognuna delle due. Nel caso di $sin(x^2)$ puoi prendere $x_n:=\sqrt{\pi/2+2n\pi}$ e $y_n:=\sqrt{-\pi/2+2n\pi}$ di modo che $\sin(x_n^2)=1$ e $\sin(y_n^2)=-1$.
Inoltre $x_n-y_n=(\pi)/(x_n+y_n)\to0$ da cui la tesi.
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