Dubbi sul Teorema del differenziale totale

[Eterna]

Salve ho un dubbio sul th del differenziale totale. La mia insegnante utilizza l'enunciato del Marcellini che afferma che se ho f derivabile in A aperto di $R^n$ e le derivate parziali di f sono continue in x $in$ A allora f è differenziabile in x . Ora,però non sono sicura però di aver capito bene XD, la professoressa mi pare abbia aggiunto che questa è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità e ci ha suggerito di ricorrere al th del differenziale totale solo quando viene chiesto esplicitamente negli esercizi. Avete qualche esempio a riguardo? Inoltre quando parla di derivate continue in x intende in un intorno di x? Grazie

[paolotesla91]

non credo di aver capito bene qual è il tuo problema ma secondo me troverai la risposta studiando il teorema del differenziale

[Seneca1]

@Eterna: Neanche io ho afferrato bene... Puoi fare qualche esempio?

[avmarshall]

Per quel che ho capito, forse lei vuole dire che non sempre il teorema del differenziale totale si può applicare (proprio perchè è un teorema e vanno verificate le ipotesi); infatti se la funzione $ !in C^1(A) $ non è detto che la funzione non sia differenziabile.
Infatti la prof gli ha detto di non usarlo se non quando è chiesto esplicitamente.
In genere per gli esercizi si usa la definizione di funzione differenziabile in un punto.
Credo che lei intenda questo, però è possibile che ho preso una cantonata!

[paolotesla91]

Per quanto riguarda la seconda domanda non ho ben capito nemmeno questa ma provo a rispondeerti: per definizione la derivata di una funzione in un punto come ben sai è il limite del rapporto incrementale, quindi la funzione è derivabile in un punto $x$ se il limite esiste finito nel punto $x$. Se la funzione è di classe $C^1$ allora vuol dire che la "funzione derivata" è continua in tutto il suo dominio. Non so se mi sono spiegato. Altrimenti è come dice marshall


P.S. con $x$ intendo dire $x=(x_1,x_2,......,x_n)$.

[Plepp]

quando parla di derivate continue in x intende in un intorno di x?

Ciao la condizione richiesta nel teorema è prp questa, ossia che $f$ sia di classe $C^1$ in un intorno di $\mathbf{x}$ (quindi che sia derivabile con continuità in tale intorno)...

Per il resto, nemmeno io ho ben capito qual'è il tuo dubbio Ciao

[gugo82]

"Plepp":

quando parla di derivate continue in x intende in un intorno di x?

Ciao la condizione richiesta nel teorema è prp questa, ossia che $f$ sia di classe $C^1$ in un intorno di $\mathbf{x}$ (quindi che sia derivabile con continuità in tale intorno)...

No, intende continue in \(x\) e basta.
In caso contrario avrebbe detto "continue intorno ad \(x\)".

Ad ogni modo, basta esaminare attentamente la dimostrazione per capire se serve la continuità solo nel punto o in tutto un intorno.

[paolotesla91]

"gugo82":[quote="Plepp"]

quando parla di derivate continue in x intende in un intorno di x?

Ciao la condizione richiesta nel teorema è prp questa, ossia che $f$ sia di classe $C^1$ in un intorno di $\mathbf{x}$ (quindi che sia derivabile con continuità in tale intorno)...

No, intende continue in \(x\) e basta.
In caso contrario avrebbe detto "continue intorno ad \(x\)".

Ad ogni modo, basta esaminare attentamente la dimostrazione per capire se serve la continuità solo nel punto o in tutto un intorno.[/quote]


Quoto!

[Plepp]

Sì, chiedo scusa. Richiede solo l'esistenza delle derivate parziali intorno ad $\mathbf{x}$. Esatto @Gugo?

[Eterna]

Mi scuso per la poca chiarezza in parole povere, volevo sapere se una funzione può essere differenziabile in x anche senza avere le derivate parziali tutte continue in quel punto e se qualcuno poteva farmi un esempio a riguardo. Per quanto riguarda la seconda domanda,è un appunto che ho preso a lezione in piccolo e che adesso ho difficoltà a contestualizzare :S riportarvi la prima parte della dimostrazione potrebbe aiutare? Tenendo conto che comunque negli esercizi la continuità l'ha sempre controllata nel solo punto.

[Seneca1]

E' sufficiente la continuità nel punto.