Dubbi sul calcolo del potenziale di una forma differenziale

[singularity]

Primo metodo:

Sia data una forma differenziale lineare $omega$ di classe $C^1 (Omega)$, $Omega sube R^n$ , diciamo che $omega$ è esatta se esiste una funzione $U: Omega rarr R$ tale che $dU = omega$ e chiamiamo $U$ potenziale.

Per semplicità supponiamo di avere una forma differenziale in $R^2$ , $omega = omega_1dx + omega_2dy$, volendo calcolarne un potenziale è utile tenere presente che, dalla definizione di forma differenziale esatta:

$(partial U)/(partial x) = omega_1 rArr U(x,y) = int omega_1(x,y)dx + g(y) $ (1)

dopodiché, ci ricordiamo che vale anche:

$(partial U)/(partial y) = omega_2$ , quindi deriviamo la (1) rispetto a $y$, la poniamo uguale a $omega_2$ e otteniamo un'equazione in $g'(y)$ da cui ricaviamo $g(y)$ e successivamente $U(x,y)$


Secondo metodo:

Siccome abbiamo appurato che la forma differenziale esatta, se ne calcoliamo l'integrale lungo una curva qualsiasi otteniamo una funzione potenziale valida per tutte le curve regolari nel dominio di $omega$

Dubbi:

E' corretto il primo metodo?

Nel secondo metodo (è corretto?) ho visto che spesso si calcola l'integrale lungo una spezzata formata da un segmento orizzontale e uno verticale, sfruttando il "Teorema fondamentale del calcolo integrale per le forme differenziali", in pratica basta calcolare l'integrale lungo una curva qualsiasi (magari che renda l'integrale non troppo ostico) ?

[21zuclo]

Io invece di forme differenziali .. li chiamo CAMPI VETTORIALI.. ma è praticamente la stessa cosa..

allora

"singularity":
E' corretto il primo metodo?

Assolutamente SI .. ed è il metodo che preferisco ..

PER ESEMPIO.. tu hai questo campo vettoriale in $ RR^3 $ , $ F(x,y,z)=((x^2),(y),(z^3)) $

dopo aver verificato che è irrotazionale $ rotF=det( ( i , j , k ),( \partial_x , \partial_y , \partial_z ),( x^2 , y , z ) ) =0 $

ora puoi calcolarne il potenziale.. col primo metodo..

perchè $ \partial_x U(x,y,z)=x^2 $ .. quindi si ha $ \int x^2dx=x^3/3+a(y,z) $

e così via come hai detto tu.. per trovare il potenziale.. dovresti trovare $ U(x,y,z)=x^3/3+y^2/2+z^4/4+C $

il secondo metodo

è più calcoloso diciamo.. vale la formula $ U(x,y,z)=\int_(x_0,y_0,z_0)^(x,y,z) F \cdot ds $

ove l'integrale è esteso ad una qualunque curva
$ \gamma sub E $ congiungente i punti $ (x_0,y_0,z_0) $ e $ (x,y,z) $

ovviamente $ Esube RR^3 $

Tutto questo che ho scritto, vale anche per $RR^2$ o in generale $RR^n$

[singularity]

Grazie della risposta, sei stato chiarissimo