Dubbi sul calcolo dei limiti
qualcuno mi potrebbe spiegare perché risolvendo questo limite lim di x che tende a zero di (sen( x ) -x)/x^3 in questo modo: lim.... di(sen( x ) -x)/x^3= lim di x che tende a zero di( ((sen(x))/x) 1/x^2)- x/x^3=lim....di 1/x^2-1/x^2=0 il risultato non torna visto che dovrebbe venire -1/6? so che si puo' arrivare al risultato usando de l'hopital e non mi interessa vedere la risoluzione con questo teorema ma quello che vorrei capire è perché il limite non puo' essere risolto cosi, quali sono i passaggi o le considerazioni sbagliate che ho fatto risolvendo il limite cosi e soprattutto perché; in particolare poi vorrei sapere perché se io per esempio avessi avuto da risolvere non il lim di x che tende a zero di (sen( x ) -x)/x^3 ma direttamente il limite che inizia cosi: limite di x che tende a zero di 1/x^2-1/x^2 perché questo posso dire che i due termini si annullano a vicenda e quindi il risultato del limite fa zero mentre in quello con il seno quando arrivo al seguente passaggio: limite di x che tende a zero di 1/x^2-1/x^2 non posso dire che i due termini si annullano ma che rimane la forma indeterminata 00- 00? grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno.
Risposte
Se ho capito bene il limite è questo
Il problema nella risoluzione da te proposta sta in quello che si chiama "cancellazione degli infinitsimi": operando come fai, senza rendertene conto, stai affermando che la funzione di partenza, evidentemente non nulla, equivalealla funzione
che invece è nulla. Il problema sorge da una questione di "sviluppi" in potenze della funzione seno. Non so se conosci il polinomio di Taylor, ma la funzione seno può essere scritta la modo seguente
dove i puntini sostituiscono altri termini che, in questa sede, non ci interessano. Quello che fai tu equivale a pensare che la funzione seno si scriva come
Se invece scrivi la funzione seno come ho fatto io ottieni
e facendo il limite otteniamo il valore richiesto.
[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}[/math]
Il problema nella risoluzione da te proposta sta in quello che si chiama "cancellazione degli infinitsimi": operando come fai, senza rendertene conto, stai affermando che la funzione di partenza, evidentemente non nulla, equivalealla funzione
[math]\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0[/math]
che invece è nulla. Il problema sorge da una questione di "sviluppi" in potenze della funzione seno. Non so se conosci il polinomio di Taylor, ma la funzione seno può essere scritta la modo seguente
[math]\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots[/math]
dove i puntini sostituiscono altri termini che, in questa sede, non ci interessano. Quello che fai tu equivale a pensare che la funzione seno si scriva come
[math]\sin x=x[/math]
e che quindi la funzione diventi[math]\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{x-x}{x^3}=0[/math]
Se invece scrivi la funzione seno come ho fatto io ottieni
[math]\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{x-x^3/6-x}{x^3}=\frac{-x^3/6}{x^3}=-\frac{1}{6}[/math]
e facendo il limite otteniamo il valore richiesto.
ciampax grazie per la risposta però vorrei chiederti come faccio a capire che quello che sto scrivendo è sbagliato cioè anche se io non conosco il polinomio di taylor e a parte il fatto che il risultato sarebbe sbagliato se dovessi usare il procedimento che ho scritto è possibile dare un'altra spiegazione al fatto che sto usando un procedimento sbagliato e che mi faccia accorgere di tale errore che sto facendo?
E' una questione legata agli ordini di infinitesimo di una funzione. Sai cosa sono?
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