Dubbi sui massimi/minimi/sella
Salve a tutti. Ho qualche problema riguardo ai massimi e minimi per funzioni in due variabili. Riesco a calcolarli, ma non a definirli bene, quindi se qualcuno mi da qualche chiarimento magari, riesco a capirci qualcosa.
Allora, prendo in esempio l'esercizio che sto facendo ora:
"Sia $ f(x,y)= 8x^3-y^3+6xy $ Trovare massimi e minimi di $ f $ "
Allora procedo nel seguente modo: Calcolo le derivate parziali: $ (partial f)/(partialx)= 24x^2+6y $ $ (partial f)/(partialy)= -3y^2+6x $ Le metto in un sistema, uguagliandole a zero, e trovo i due punti $ alpha(0,0) $ $ beta(1/2;-1) $
Ora faccio la matrice hessiana con le derivate parziali e ottengo
$ H=( ( 48x , 6 ),( 6 , -6y ) ) $
quindi $ det(H)=-288xy-36 $ in $ alpha $ avremo $ det(H) = -36 $ in $ beta $ avremo $ det(H)=108 $
Ora devo dire se i due punti sono di massimo/minimo o di sella. Allora, la teoria mi dice che:
- se l'Hessiana è definita positiva, allora $ (x0,y0) $ è un punto di minimo;
- se l'Hessiana è definita negativa, allora $ (x0,y0) $ è un punto di massimo;
- se l'Hessiana è indefinita, allora $ (x0,y0) $ è un punto di sella;
Qui giungono i miei problemi: un'Hessiana è definita positiva(negativa) se il suo determinante è positivo(negativo)?
Se è cosi allora come faccio a trvoare i punti di sella?
Cercando spiegazioni (migliori del mio libro), su internet, ho trovato altre definizioni:
- determinante positivo, primo elemento positivo -> punto di minimo relativo;
- determinante positivo, primo elemento negativo -> punto di massimo relativo;
- determinante negativo -> punto di sella;
- determinante nullo -> il test è inconcludente
Da questo ne deduco che: se il determinante è negativo, avrò a prescindere un punto di sella. Se invece il determinante è positivo devo guardare il primo elemento della matrice, per dire se il punto è un massimo o un minimo. Nel caso del mio esercizio ho $ 48x $ essendo $ x=1/2 $ il primo elemento è positivo, quindi ho un minimo. Se invece, fosse stato $ x= -1/2 $ allora avrei avuto un massimo?
Qualcuno potrebbe dirmi se sbaglio qualcosa, per favore?
Scusate la confusione, sperò di essermi spiegato bene.
Allora, prendo in esempio l'esercizio che sto facendo ora:
"Sia $ f(x,y)= 8x^3-y^3+6xy $ Trovare massimi e minimi di $ f $ "
Allora procedo nel seguente modo: Calcolo le derivate parziali: $ (partial f)/(partialx)= 24x^2+6y $ $ (partial f)/(partialy)= -3y^2+6x $ Le metto in un sistema, uguagliandole a zero, e trovo i due punti $ alpha(0,0) $ $ beta(1/2;-1) $
Ora faccio la matrice hessiana con le derivate parziali e ottengo
$ H=( ( 48x , 6 ),( 6 , -6y ) ) $
quindi $ det(H)=-288xy-36 $ in $ alpha $ avremo $ det(H) = -36 $ in $ beta $ avremo $ det(H)=108 $
Ora devo dire se i due punti sono di massimo/minimo o di sella. Allora, la teoria mi dice che:
- se l'Hessiana è definita positiva, allora $ (x0,y0) $ è un punto di minimo;
- se l'Hessiana è definita negativa, allora $ (x0,y0) $ è un punto di massimo;
- se l'Hessiana è indefinita, allora $ (x0,y0) $ è un punto di sella;
Qui giungono i miei problemi: un'Hessiana è definita positiva(negativa) se il suo determinante è positivo(negativo)?
Se è cosi allora come faccio a trvoare i punti di sella?
Cercando spiegazioni (migliori del mio libro), su internet, ho trovato altre definizioni:
- determinante positivo, primo elemento positivo -> punto di minimo relativo;
- determinante positivo, primo elemento negativo -> punto di massimo relativo;
- determinante negativo -> punto di sella;
- determinante nullo -> il test è inconcludente
Da questo ne deduco che: se il determinante è negativo, avrò a prescindere un punto di sella. Se invece il determinante è positivo devo guardare il primo elemento della matrice, per dire se il punto è un massimo o un minimo. Nel caso del mio esercizio ho $ 48x $ essendo $ x=1/2 $ il primo elemento è positivo, quindi ho un minimo. Se invece, fosse stato $ x= -1/2 $ allora avrei avuto un massimo?
Qualcuno potrebbe dirmi se sbaglio qualcosa, per favore?
Scusate la confusione, sperò di essermi spiegato bene.
Risposte
"DoppioZero":
Qui giungono i miei problemi: un'Hessiana è definita positiva(negativa) se il suo determinante è positivo(negativo)?
No. Una matrice simmetrica $A$ (quale è l'hessiana di $f$ se $f$ è di classe $C^2$) si dice definita positiva [negativa] se tale è la forma quadratica ad essa associata, cioè se:
\[\forall v\in \mathbb{R}^n,\, v\ne 0,\quad Q_A(v):=\langle v,Av\rangle >0\quad [<0]\]
Se la disuguaglianza non è stretta (cioè se vale con $\ge$ anziché con $>$), $A$ si dice semidefinita positiva [negativa].
Altrimenti $A$ si dice indefinita (cioè se esistono vettori $u,v$ non nulli tali che $Q_A(u)>0$ e $Q_A(v)<0$).
Ora, se $x_0$ è un punto in cui il gradiente di $f$ si annulla, sai che
[*:c4t0m4hj] se $x_0$ è un minimo relativo per $f$, allora $H_f"" (x_0)$ è semidefinita positiva;[/*:m:c4t0m4hj]
[*:c4t0m4hj] se $x_0$ è un massimo relativo per $f$, allora $H_f ""(x_0)$ è semidefinita negativa;[/*:m:c4t0m4hj]
[*:c4t0m4hj] se $H_f""(x_0)$ definita positiva, hai un minimo relativo per $f$ in $x_0$;[/*:m:c4t0m4hj]
[*:c4t0m4hj] se $H_f""(x_0)$ definita negativa, hai un massimo relativo per $f$ in $x_0$;[/*:m:c4t0m4hj]
[*:c4t0m4hj] se $H_f""(x_0)$ è indefinita, hai una sella.[/*:m:c4t0m4hj][/list:u:c4t0m4hj]
Le prime due esprimono condizioni necessarie per l'esistenza di minimi e massimi, le ultime tre ti danno condizioni sufficienti.
La filosofia delle ultime tre è: il polinomio di Taylor del secondo ordine centrato in $P_0:=(x_0,y_0)$ approssima bene il comportamento della funzione in un intorno del punto. Se il gradiente in quel punto è zero, il polinomio di Taylor è - a meno di costanti additive - la forma quadratica associata all'hessiana di $f$, che nel caso bidimensionale è una roba del genere:
\[Q(x-x_0,y-y_0)=a^1_1(x-x_0)^2+2a^1_2(x-x_0)(y-y_0)+a^2_2(y-y_0)^2\qquad H_f(P_0)=(a^i_j)_{i,j}\]
Quindi, ad esempio, se so che $Q$ ha per grafico un paraboloide con concavità verso l'alto (nel qual caso $H_f""(P_0)$ è definita positiva), dal momento che $f$ si comporta come $Q$ vicino a $P_0$, $f$ dovrà avere un minimo relativo in $P_0$.
Per interiorizzare la faccenda tre ti consiglio di farti un disegno in qualche modo (prova con $f(x,y):=e^{-x^2-y^2}$; nell'origine hai un punto di minimo, e la forma quadratica associata a $H_f""(0,0)$ è un paraboloide con concavità verso il basso).
"DoppioZero":
(1) - determinante positivo, primo elemento positivo
(2) - determinante positivo, primo elemento negativo
(3) - determinante negativo
(4) - determinante nullo
Questa è una caratterizzazione (cioè qualcosa di equivalente alla definizione vera e propria) delle matrici che $2\times 2$ (e vale solo per matrici di questo tipo) definite positive - (1), definite negative - (2), indefinite - (3). La (4) implica che la matrice non è né definita positiva, né definita negativa, ma non ti dice granché altro.
"DoppioZero":
Da questo ne deduco che: se il determinante è negativo, avrò a prescindere un punto di sella. Se invece il determinante è positivo devo guardare il primo elemento della matrice, per dire se il punto è un massimo o un minimo. Nel caso del mio esercizio ho $ 48x $ essendo $ x=1/2 $ il primo elemento è positivo, quindi ho un minimo. Se invece, fosse stato $ x= -1/2 $ allora avrei avuto un massimo?
Qualcuno potrebbe dirmi se sbaglio qualcosa, per favore?
Per primo elemento si intende $a_{1,1}$, non la prima coordinata del punto critico
Ciao
Grazie mille ad entrambi, finalmente sono riuscito a capirlo.
Per precisare, a Plepp, si capiva male. Con primo elemento intendo appunto $ a11 $. E non la coordinata, ma essendo l'elemento $ a11 = 48x $, esso è positivo in $ beta $ in quanto $ beta (x) = 1/2 $ di conseguenza $ a11= 48 (1/2) = 24 $ Quindi è positivo.
Ripeto, grazie mille ad entrambi, gentilissimi
Per precisare, a Plepp, si capiva male. Con primo elemento intendo appunto $ a11 $. E non la coordinata, ma essendo l'elemento $ a11 = 48x $, esso è positivo in $ beta $ in quanto $ beta (x) = 1/2 $ di conseguenza $ a11= 48 (1/2) = 24 $ Quindi è positivo.
Ripeto, grazie mille ad entrambi, gentilissimi
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