Dubbi sui limiti
Salve, ho da poco iniziato a fare esercizi sui limiti. Volevo levarmi alcuni dubbi che non ho chiesto al prof perchè di solito me li aumenta. Dato questo limite
$lim_(x->0)arctg(1/x)$. Ponendo $y=1/x$ e poichè 0 è un punto di disicontinuità calcoliamo il limite sinistro e destro:
$lim_(x->0^+)(1/x) = + infty$
$lim_(x->0^-)(1/x) = - infty$
A questo punto considerando la funzione arctg per $y->+infty$ e $y->-infty$, otteniamo rispettivamente $+ pi/2$ e $-pi/2$. Essendo diversi il limite destro ed il limite sinistro avremo che $lim_(x->0)arctg(1/x)$ non esiste.
Cosa accade invece in limiti di questo genere dove anche qui il limite destro e sinistro sono diversi? Il prof è arrivato ad una soluzione precisa alla quale io non sono daccordo (per me anche in questi casi il limite non esiste) ma essendo un novellino ...
I limiti sono 2, mi farebbe piacere se risolveste entrambi o uno spiegato per bene:
1) $lim_(x->1)(log(1-x))/(x^2-3x+2)$
2) $lim_(x->0)arctg(log(x)/sin(x))$
Grazie in anticipo e cordiali saluti
$lim_(x->0)arctg(1/x)$. Ponendo $y=1/x$ e poichè 0 è un punto di disicontinuità calcoliamo il limite sinistro e destro:
$lim_(x->0^+)(1/x) = + infty$
$lim_(x->0^-)(1/x) = - infty$
A questo punto considerando la funzione arctg per $y->+infty$ e $y->-infty$, otteniamo rispettivamente $+ pi/2$ e $-pi/2$. Essendo diversi il limite destro ed il limite sinistro avremo che $lim_(x->0)arctg(1/x)$ non esiste.
Cosa accade invece in limiti di questo genere dove anche qui il limite destro e sinistro sono diversi? Il prof è arrivato ad una soluzione precisa alla quale io non sono daccordo (per me anche in questi casi il limite non esiste) ma essendo un novellino ...
I limiti sono 2, mi farebbe piacere se risolveste entrambi o uno spiegato per bene:
1) $lim_(x->1)(log(1-x))/(x^2-3x+2)$
2) $lim_(x->0)arctg(log(x)/sin(x))$
Grazie in anticipo e cordiali saluti
Risposte
Forse ho capito il problema. Tieni sempre presente gli insiemi di definizione delle funzioni coinvolte.
Prendiamo come esempio il tuo limite 2). C'è scritto $lim_{x\to0}$, ma avrebbe senso dire $lim_{x\to0^(-)}$?
Io penso di no: dove è definita la funzione $arctan((log\ x)/(sin\ x))$? Invece ha senso parlare di $lim_{x\to0^(+)}$. Anzi, se dai un'occhiata alla definizione di limite, ti accorgerai che in casi come questo $lim_{x\to0}$ e $lim_{x\to0^+}$ sono esattamente la stessa operazione. Scrivi pure $0^+$ se ti fa sentire più comodo.
Prendiamo come esempio il tuo limite 2). C'è scritto $lim_{x\to0}$, ma avrebbe senso dire $lim_{x\to0^(-)}$?
Io penso di no: dove è definita la funzione $arctan((log\ x)/(sin\ x))$? Invece ha senso parlare di $lim_{x\to0^(+)}$. Anzi, se dai un'occhiata alla definizione di limite, ti accorgerai che in casi come questo $lim_{x\to0}$ e $lim_{x\to0^+}$ sono esattamente la stessa operazione. Scrivi pure $0^+$ se ti fa sentire più comodo.
"dissonance":
Forse ho capito il problema. Tieni sempre presente gli insiemi di definizione delle funzioni coinvolte.
Prendiamo come esempio il tuo limite 2). C'è scritto $lim_{x\to0}$, ma avrebbe senso dire $lim_{x\to0^(-)}$?
Io penso di no: dove è definita la funzione $arctan((log\ x)/(sin\ x))$? Invece ha senso parlare di $lim_{x\to0^(+)}$. Anzi, se dai un'occhiata alla definizione di limite, ti accorgerai che in casi come questo $lim_{x\to0}$ e $lim_{x\to0^+}$ sono esattamente la stessa operazione. Scrivi pure $0^+$ se ti fa sentire più comodo.
Si sono daccordo con te. Quindi il limite alla fine è $+ pi/2$ giusto?. A questo punto ti chiedo: bisogna in ogni caso determinare l'insieme di definizione delle funzioni coinvolte?
Nel caso del primo limite considerando l'insime di definizione $X : ]-infty ; 1[$ avremo che il limite è $+infty$, giusto? In ogni caso non si trova con i risultati del prof che nella prima ha ottenuto con ris: 1) $- pi/2$ mentre nella seconda $- infty$ quindi farò meglio ad esercitarmi parecchio per togliermi tutti i dubbi
Non so come lo avete svolto in classe, ma io lo farei così (credo che sia la tecnica più semplice possibile...):
$\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/sin(x))=\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/x*x/sin(x)) = -\pi/2$ perché:
$x/sin(x) \to 1$, è il limite fondamentale goniometrico;
$log(x)/x$ è una forma $-\infty*1/0^+=-\infty$
e l'arcotangente tende a $-pi/2$ se l'argomento tende a $-\infty$.
$\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/sin(x))=\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/x*x/sin(x)) = -\pi/2$ perché:
$x/sin(x) \to 1$, è il limite fondamentale goniometrico;
$log(x)/x$ è una forma $-\infty*1/0^+=-\infty$
e l'arcotangente tende a $-pi/2$ se l'argomento tende a $-\infty$.
"maurer":
Non so come lo avete svolto in classe, ma io lo farei così (credo che sia la tecnica più semplice possibile...):
$\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/sin(x))=\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/x*x/sin(x)) = -\pi/2$ perché:
$x/sin(x) \to 1$, è il limite fondamentale goniometrico;
$log(x)/x$ è una forma $-\infty*1/0^+=-\infty$
e l'arcotangente tende a $-pi/2$ se l'argomento tende a $-\infty$.
Ok grazie maurer. Cmq a quanto ho capito dv mettermi a studiare da solo perchè come ho già detto il prof per le esercitazioni di analisi (proviene da una scuola secondaria superiore) come avevo già intuito complica le cose e poichè i limiti possono essere risolti in più di un modo ...... Quindi grazie ancora..ciao
"ledrox":
[quote="maurer"]Non so come lo avete svolto in classe, ma io lo farei così (credo che sia la tecnica più semplice possibile...):
$\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/sin(x))=\lim_{x\to 0^+} arctan(log(x)/x*x/sin(x)) = -\pi/2$ perché:
$x/sin(x) \to 1$, è il limite fondamentale goniometrico;
$log(x)/x$ è una forma $-\infty*1/0^+=-\infty$
e l'arcotangente tende a $-pi/2$ se l'argomento tende a $-\infty$.
Ok grazie maurer. Cmq a quanto ho capito dv mettermi a studiare da solo perchè come ho già detto il prof per le esercitazioni di analisi (proviene da una scuola secondaria superiore) come avevo già intuito complica le cose e poichè i limiti possono essere risolti in più di un modo ...... Quindi grazie ancora..ciao[/quote]
Scusate ancora... e la prima come la risolvereste?
Scomponi il denominatore: $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$. A questo punto è facile: $\lim_{x\to 1} log(1-x)/(x^2-3x+2)=\lim_{x\to 1} log(1-x)/((x-2)*(x-1))=\lim_{x\to 1} -log(1-x)/(1-x)*1/(x-2)=-\infty$. Infatti, come prima $log(1-x)/(1-x) \to -\infty$, $1/(x-2) \to -1$ e per la regola dei segni segue il risultato.
E' abbastanza chiaro?
E' abbastanza chiaro?
"ledrox":Sì. Prendi questa abitudine che ti risparmierà un sacco di errori. Col tempo poi ti scatteranno degli automatismi; ma per adesso ti consiglio, ogni volta che sei di fronte ad una espressione simbolica, di stabilirne esattamente l'insieme di definizione.
A questo punto ti chiedo: bisogna in ogni caso determinare l'insieme di definizione delle funzioni coinvolte?
Comunque, per il primo esercizio hai una situazione di questo tipo: il numeratore diverge negativamente mentre il denominatore tende a 0. Quindi evidentemente il numeratore si mantiene negativo in un intorno dello 0 (di che tipo? destro o sinistro? In questo caso, devi studiare l'insieme di definizione della funzione in esame per rispondere). E il denominatore? Diventa arbitrariamente piccolo, ma con quale segno? (In termini più terra-terra, il denominatore tende a $0^+$ o a $0^-$? Ma questa notazione non mi piace).
Grazie mauder ..davvero molto chiaro. Ciao
Grazie anche a te dissonance...sei stato un pò vago ma ho capito quello che vuoi dire...grazie ancora
ciao
ciao
Più che vago è stato il più generale possibile. Quello che ha postato è il ragionamento informale che solitamente si fa mentalmente per risolvere i limiti...
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