Dubbi sugli insiemi di definizione

[Mr.Mazzarr]

Salve ragazzi..
Non mi trovo con alcuni insiemi di definizione. O meglio, in alcuni casi non mi trovo con il libro; in altri non riesco proprio a capire perché il libro faccia un determinato ragionamento.

Metto in Spoiler funzione e relativo dubbio..

Testo:
$log_3 tgx$

Poichè la base del logarimo è maggiore di 0 e diversa da 1, ho posto la tangente maggiore di 0. Quindi ho fatto un sistema:
$\{(tgx > 0),(x != pi/2 +kpi, k in Z):}$

Ora, il risultato non dovrebbe essere i valori positivi di R eccetto i punti in cui si annulla la tangente?
Il risultato del libro forse è così, forse sono io che non so leggerlo. Comunque il risultato del libro è:
$x in uuu_{k in Z} ] k pi, pi/2 + kpi [$

Testo:
$(x^2 - 1)/(tgx)$

Per il numeratore è tutto R. La tangente l'ho posta diversa da 0 e diversa dai punti in cui si annulla:
$\{(tgx != 0), (x != pi/2 +kpi, k in Z):}$

Ora, il risultato non dovrebbe essere semplicemente tutto R eccetto 0 e la periodicità d'annullamento della tangente?
Il risultato del libro è:

$R - uuu_{k in Z} [K pi/2]$

Testo:
$arctg ((x^2 + 1)/(logx))$

Ho posto l'argomento dell'arcotangente tra $-pi/2$ e $pi/2$, poi ho lavorato solo sulla parentesi:
$/{(logx != 0), (logx > 0)}:$

Poi devo trovare l'intersezione tra l'arcotangente e la parentesi ( in quanto prodotto di due funzioni ), mi viene $ x in ]1, +oo[$ per la parentesi tonda ma non so come muovermi per l'argomento dell'arcotangente !!

[giuscri]

"Mr.Mazzarr":
$log_3 tgx$

I valori positivi di R eccetto i punti in cui si annulla la tangente?

Devi garantire che l'argomento del log sia positivo. Va bene escludere i punti in cui la tangente si annulla, ma per esempio per $x \in (-pi/2, 0)$ la tangente è negativa ...

$(x^2 - 1)/(tgx)$
Ora, il risultato non dovrebbe essere semplicemente tutto R eccetto 0 e la periodicità d'annullamento della tangente?

E' quello che scrive il libro, no?

$arctg ((x^2 + 1)/(logx))$

Ho posto l'argomento dell'arcotangente tra $-pi/2$ e $pi/2$

Perché?

Sforzati di comprendere la notazione, comunque.

[Mr.Mazzarr]

L'errore sull'arcotangente l'ho capito. Mi sono confuso.
L'insieme di definizione dell'arcotangente è tutto R?

Io con il libro mi trovo solo sul secondo risultato, quindi sull'insieme di definizione del secondo termine della moltiplicazione.

[Mr.Mazzarr]

"giuscri":Devi garantire che l'argomento del log sia positivo. Va bene escludere i punti in cui la tangente si annulla, ma per esempio per $x \in (-pi/2, 0)$ la tangente è negativa ...

La tangente si annulla nei punti $pi/2 + kpi$ $k in Z$
Vuol dire che la funzione esiste in tutti i punti positivi eccetto i punti d'annullamento della tangente? E non posso scrivere R eccetto la periodicità della tangente?

[Gi81]

@Mr.Mazzarr: ma hai risolto $tan(x)>0$?
Se la risolvi, anche solo graficamente, noterai che ha soluzione $k*pi
Infatti la tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante, e negativa nel secondo e nel quarto quadrante.

[Mr.Mazzarr]

Rifaccio d'accapo, dimmi tu dove sbaglio:

$log_{3}tgx$

$tg>0 -> x in {0, pi/2 + kpi}$
$x != pi/2 + kpi, k in >$

Ciò vuol dire che il risultato sarà:
$x in {0, pi/2 + kpi, k in >} - {pi/2 + kpi, k in Z}$

Credo si scriva così.. L'intenzione è di dire che la funzione è nel primo e nel quarto quadrante eccetto gli asintoti verticali in $pi/2$.

P.s.
Non sto trovando particolari problemi con gli insiemi di definizione, eccetto in due casi che vi espongo e spero che mi possiate aiutare:

Testo:
$sqrt( arcsenlog_{3} (x^2+2x+2)}$

Nso risolvere il primo punto del sistema:

$arcsenlog_{3}(x^2+2x+2) >= 0$
$(x^2+2x+2) > 0$
l$og_{3}(x^2+2x+2) >= -1$
$log_{3}(x^2+2x+2) =< 1$

Come devo risolvere il primo punto? Il primo punto sarebbe tutto l'argomento sotto radice, ma se dovessi risolvere questo problema come semplicemente la gestione dell'argomento dell'arcoseno allora già l'ho fatto ( gli ultimi due punti ).

Testo:
$sqrt(log^2_{1/3}) + x- 1$ $+$ $arcsen ( log^2{3} x/2 )$

Qui ho un problema nella gestione del logaritmo quadro. Ovvero imposto anche bene il sistema, ma poi non so risolvere il logaritmo quadro. Ho pensato di scomporlo per levare l'esponente ma non ho risolto nulla.

Come devo muovermi quando trovo un logaritmo quadro?

[Gi81]

"Mr.Mazzarr":$tg>0 -> x in {0, pi/2 + kpi}$
$x != pi/2 + kpi, k in >$

Ciò vuol dire che il risultato sarà:
$x in {0, pi/2 + kpi, k in >} - {pi/2 + kpi, k in Z}$

Credo si scriva così.. L'intenzione è di dire che la funzione è nel primo e nel quarto quadrante eccetto gli asintoti verticali in $pi/2$.

Si scrive così: $k *pi < x

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[Mr.Mazzarr]

Perfetto, grazie.

Sapresti aiutarmi su quelle due funzioni sotto Spoiler?