Dubbi su un limite
Il libro mi da questo limite $lim_(x -> 0^+) x^β|logx|^α=0$ qualunque sia β>0 e α appartenente ad R. Poi fa questa osservazione: "si osservi che il limite dà una forma di indeterminazione se α>0; per α <=0 non c'è nessuna forma di indeterminazione".
1) ma il caso in cui α=0 non dovrebbe essere una forma di indeterminazione siccome |logx| tende a più infinito ed infinito alla 0 è una forma di indeterminazione?
Poi per risolverlo scrive la funzione ponendo x=1/t: $lim_(x -> 0^+) x^β|logx|^α= lim_(t->+∞)(|logt|^α)/t^β=0$
2) so che il risultato sarebbe comunque 0, ma a numeratore non dovrebbe esserci scritto $|log(1/t)|^α$?
1) ma il caso in cui α=0 non dovrebbe essere una forma di indeterminazione siccome |logx| tende a più infinito ed infinito alla 0 è una forma di indeterminazione?
Poi per risolverlo scrive la funzione ponendo x=1/t: $lim_(x -> 0^+) x^β|logx|^α= lim_(t->+∞)(|logt|^α)/t^β=0$
2) so che il risultato sarebbe comunque 0, ma a numeratore non dovrebbe esserci scritto $|log(1/t)|^α$?
Risposte
1) Attenzione! Se \(\alpha=0\) significa che \(|\log x|^\alpha = 1\) per ogni \(x\). Non c'è neanche da passare al limite. Si ha forma di indeterminazione quando si ha una potenza
\[
|f(x)|^{g(x)}\]
e \(|f(x)|\to +\infty\), \(g(x)\to 0\), con \(g(x)\ne 0\) per ogni \(x\) in un intorno di \(x_0\). Nota bene questa ultima condizione, che ti era sfuggita.
\[
|f(x)|^{g(x)}\]
e \(|f(x)|\to +\infty\), \(g(x)\to 0\), con \(g(x)\ne 0\) per ogni \(x\) in un intorno di \(x_0\). Nota bene questa ultima condizione, che ti era sfuggita.
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