Dubbi su successioni, sottosuccessioni e indici
Buonasera, ho realizzato di avere dei dissapori con successioni, sottosuccessioni e indici...
Una successione ${a_n}_n$ è un'applicazione che manda dei valori n $in NN$ in valori $a_n$ $in RR$. Primo esempio che mi viene in mente: $a_n=1/n$
Una sottosuccessione ("estratta" aggiunge un qualche valore o è un aggettivo sottinteso? Cioè, c'è differenza fra una "sottosuccessione estratta" e una "sottosuccessione" (di $a_n$, ovviamente)?) $a_(n_k)$, invece... già qui comincio a vederci meno chiaro
Una sottosuccessione, di primo acchito, potrebbe essere vista come una successione formata solamente da alcuni elementi della successione "madre", ma presi in qualunque modo o necessariamente in ordine (vale a dire: una sottosuccessione della summenzionata $1/n$ potrebbe essere $1/4, 1/7, 1/2, 1/2, 1/2, 1/5, 1/96049, 1/2...$ oppure deve essere del tipo $1/3, 1/6, 1/90, 1/890...$)?
Nel caso invece, magari più interessante, nel quale gli elementi siano presi con un qualche criterio... questo criterio è rappresentato dalla formula che lega $n$ a $k$? Nel caso di prima, magari potremmo avere $n=3k+1$ (bisogna assicurarci che il risultato sia un numero naturale, giusto, visto che poi costituirà l'indice di $a_n$?), no? Avremmo quindi una $a_(n_k)$ del tipo $1/n$ con $n=k3+1$ cioè $a_n=1/(3k+1)$...
Tutto ciò ovviamente ha un senso con funzioni più simpatiche del tipo $a_n=(-1)^n$: la successione non ha limite, ma le due sottosuccesioni $a_(n_k)$ e $a_(n_h)$, rispettivamente con $n=2k$ e $n=2h+1$ limite ce l'hanno...
Ok, ora avrei una questione leggermente meno "di base": "Se una successione converge, ogni sottosuccessione converge allo stesso punto": cioè, se $a_n$ ha limite finito (come la $a_n=1/n$ di prima), ogni $a_(n_k)$, a prescindere dalla relazione che lega $n$ e $k$, tenderà a zero per $k->oo$. Sinceramente il fatto che si prescinda dalla relazione fra $n$ e $k$ mi turba un po'... è come dire che, comunque siano legati, se k va all'infinito anche n deve andare all'infinito? Una sorta di spiegazione me la sono data, visto che siano in $NN$, ma dei chiarimenti sarebbero graditissimi
Per finire... avreste la pazienza e la gentilezza di farmi un esempio di una successioni e annesse sottosuccessioni (estratte?) con relativi $n_(k)$?
Grazie infinite in anticipo!
Una successione ${a_n}_n$ è un'applicazione che manda dei valori n $in NN$ in valori $a_n$ $in RR$. Primo esempio che mi viene in mente: $a_n=1/n$
Una sottosuccessione ("estratta" aggiunge un qualche valore o è un aggettivo sottinteso? Cioè, c'è differenza fra una "sottosuccessione estratta" e una "sottosuccessione" (di $a_n$, ovviamente)?) $a_(n_k)$, invece... già qui comincio a vederci meno chiaro
Una sottosuccessione, di primo acchito, potrebbe essere vista come una successione formata solamente da alcuni elementi della successione "madre", ma presi in qualunque modo o necessariamente in ordine (vale a dire: una sottosuccessione della summenzionata $1/n$ potrebbe essere $1/4, 1/7, 1/2, 1/2, 1/2, 1/5, 1/96049, 1/2...$ oppure deve essere del tipo $1/3, 1/6, 1/90, 1/890...$)?Nel caso invece, magari più interessante, nel quale gli elementi siano presi con un qualche criterio... questo criterio è rappresentato dalla formula che lega $n$ a $k$? Nel caso di prima, magari potremmo avere $n=3k+1$ (bisogna assicurarci che il risultato sia un numero naturale, giusto, visto che poi costituirà l'indice di $a_n$?), no? Avremmo quindi una $a_(n_k)$ del tipo $1/n$ con $n=k3+1$ cioè $a_n=1/(3k+1)$...
Tutto ciò ovviamente ha un senso con funzioni più simpatiche del tipo $a_n=(-1)^n$: la successione non ha limite, ma le due sottosuccesioni $a_(n_k)$ e $a_(n_h)$, rispettivamente con $n=2k$ e $n=2h+1$ limite ce l'hanno...
Ok, ora avrei una questione leggermente meno "di base": "Se una successione converge, ogni sottosuccessione converge allo stesso punto": cioè, se $a_n$ ha limite finito (come la $a_n=1/n$ di prima), ogni $a_(n_k)$, a prescindere dalla relazione che lega $n$ e $k$, tenderà a zero per $k->oo$. Sinceramente il fatto che si prescinda dalla relazione fra $n$ e $k$ mi turba un po'... è come dire che, comunque siano legati, se k va all'infinito anche n deve andare all'infinito? Una sorta di spiegazione me la sono data, visto che siano in $NN$, ma dei chiarimenti sarebbero graditissimi
Per finire... avreste la pazienza e la gentilezza di farmi un esempio di una successioni e annesse sottosuccessioni (estratte?) con relativi $n_(k)$?
Grazie infinite in anticipo!
Risposte
"kingworld":
Una sottosuccessione ("estratta" aggiunge un qualche valore o è un aggettivo sottinteso?
No, nessuna.
"kingworld":
Una sottosuccessione, di primo acchito, potrebbe essere vista come una successione formata solamente da alcuni elementi della successione "madre", ma presi in qualunque modo o necessariamente in ordine (vale a dire: una sottosuccessione della summenzionata $1/n$ potrebbe essere $1/4, 1/7, 1/2, 1/2, 1/2, 1/5, 1/96049, 1/2...$ oppure deve essere del tipo $1/3, 1/6, 1/90, 1/890...$)?
Presi in ordine, ovviamente! $n_k : NN -> NN$ è una successione strettamente crescente di indici (è molto importante questa specificazione).
"kingworld":
Nel caso invece, magari più interessante, nel quale gli elementi siano presi con un qualche criterio... questo criterio è rappresentato dalla formula che lega $n$ a $k$? Nel caso di prima, magari potremmo avere $n=3k+1$ (bisogna assicurarci che il risultato sia un numero naturale, giusto, visto che poi costituirà l'indice di $a_n$?), no?
Certo. Non puoi dire che, per esempio, data $a_n = 1/n$, $a_{n_k}$ con $n_k(k) = \pi k$ è una sottosuccessione di $a_n$.
"kingworld":
Ok, ora avrei una questione leggermente meno "di base": "Se una successione converge, ogni sottosuccessione converge allo stesso punto": cioè, se $a_n$ ha limite finito (come la $a_n=1/n$ di prima), ogni $a_(n_k)$, a prescindere dalla relazione che lega $n$ e $k$, tenderà a zero per $k->oo$. Sinceramente il fatto che si prescinda dalla relazione fra $n$ e $k$ mi turba un po'... è come dire che, comunque siano legati, se k va all'infinito anche n deve andare all'infinito? Una sorta di spiegazione me la sono data, visto che siano in $NN$, ma dei chiarimenti sarebbero graditissimi
Supponi che $a_n -> x$. Comunque fissi un intorno del limite $x$ hai che, da un certo indice $bar(n)$ in poi, i valori della tua successione $a_n$ ricadono in questo intorno (definizione di limite di una successione).
Logicamente, se fissi lo stesso intorno del limite $x$ e se dalla tua successione estrai una sottosuccessione selezionando da $a_n$ degli elementi particolari (indiciati da $n_k$), per $n_k > bar(n)$ ovviamente $a_{n_k}$ ricadrà nell'intorno del limite (a maggior ragione).
Questo ragionamento si può formalizzare; ti invito a farlo (l'idea è tutta scritta qui sopra).
Grazie mille per le risposte chiare e precise! 
Noto che buona parte dell'ultima questione era inclusa (o includeva, a seconda del punto di vista, vabbè) nella stretta crescenza e nell'appartenenza ad $NN$ di $n_k (k)$... se è strettamente crescente è ovvio che per $k->oo$ anche n tenderà all'infinito ^^
(a costo di apparire cerebroleso: una sottosuccessione con indici $n_k$ del tipo $n=5-3k$ non va bene perché decresce, una del tipo $n=k^2/3$ neppure perché assume valori non interi, una del tipo $k^4$ sì perché comunque è definita da $NN$ a $NN$ e quindi non si hanno elementi ripetuti, ed è crescente, giusto?)
Ok, proverò a formalizzarlo, grazie!
...ma domani, ormai inizio ad accusare
Grazie mille, davvero!
Noto che buona parte dell'ultima questione era inclusa (o includeva, a seconda del punto di vista, vabbè) nella stretta crescenza e nell'appartenenza ad $NN$ di $n_k (k)$... se è strettamente crescente è ovvio che per $k->oo$ anche n tenderà all'infinito ^^
(a costo di apparire cerebroleso: una sottosuccessione con indici $n_k$ del tipo $n=5-3k$ non va bene perché decresce, una del tipo $n=k^2/3$ neppure perché assume valori non interi, una del tipo $k^4$ sì perché comunque è definita da $NN$ a $NN$ e quindi non si hanno elementi ripetuti, ed è crescente, giusto?)
Ok, proverò a formalizzarlo, grazie!
...ma domani, ormai inizio ad accusare
Grazie mille, davvero!
Allora, provo a formalizzare quel concetto:
$\lim_{n \to \infty}a_n=L hArr AA \epsilon EE n_0 : AAn>n_0 : |a_n-L|<\epsilon $
$n_k : NN -> NN , n_(k+1)>n_(k) AA k in NN $
$AAn_0 EEk_0 : n_(k_0)>=n_0 ; AAk>k_0 n_k>n_0 $
quindi $ AA\epsilon EEk_0 : AAk>k_0 : |a_(n_k)-L|<\epsilon => \lim_{k \to \infty}a_(n_k)=L $
Quindi ogni sottosuccessione estratta tende allo stesso limite a cui tende la successione da cui è stata estratta. Right?
Poi mi è venuto un altro dubbio... ho trovato scritto:
"se $a_n -> k in RR$, allora, data una applicazione biunivoca $\sigma : NN -> NN$ si ha $a_(\sigma_n) -> k$ "
Quello a cui ho pensato suona più o meno così: se l'applicazione è biunivoca si può intuitivamente pensare che ogni naturale in partenza sia associato ad un solo naturale in arrivo, e così per tutti, sia in partenza che in arrivo. Sì, lo so che come dicitura è orribile, ma è fine solo ad esprimere il concetto
Ok, ma se io fossi perverso e volessi farmi del male? Data una certa $\epsilon$ trovo che la condizione di limite è rispettata dopo un certo $n_0$, mettiamo 5. Ora, visto che l'applicazione non ha limitazioni di sorta, tornando alla perversione di prima potrei far sì che essa parta da 6 e cresca: 6, 7, 8,... però prima o poi dovrò pur associare ad un $n$ "in partenza" i numeri $<= n_0$ (in questo caso 0, 1, 2, 3, 4, 5); potrei anche dire che $\sigma_(googol)=3$, e poi riprendere a crescere da "dov'ero rimasto"; poi, magari dico che $\sigma_((googol)^(googol))=1$, e poi riprendo a cresce di uno da dov'ero rimasto, ma per quanto "procrastini" prima o poi dovrò associare a 6 numeri ben definiti tutte le immagini minori di $n_0$ (detta meglio: prima o poi, a $n_0+1$ elementi del dominio dovranno essere associati come immagini gli $n_0+1$ interi minori o uguali a $n_0$ per cui la condizione di limite non è rispettata). Ma dopo aver definito tali elementi, ogni altra immagine della applicazione, per quanto casuale possa essa essere, sarà sicuramente maggiore di $n_0$, e quindi, da un certo n (magari non 5, ma più di un $(googol)^(googol)$, come avevo delirato prima) in poi la condizione di limite sarà rispettata, quindi si tratta "semplicemente" di ridefinire l'$n_0$, che dipenderà da $\epsilon$ in maniera completamente dipendente dall'applicazione scelta.
O sbaglio?
$\lim_{n \to \infty}a_n=L hArr AA \epsilon EE n_0 : AAn>n_0 : |a_n-L|<\epsilon $
$n_k : NN -> NN , n_(k+1)>n_(k) AA k in NN $
$AAn_0 EEk_0 : n_(k_0)>=n_0 ; AAk>k_0 n_k>n_0 $
quindi $ AA\epsilon EEk_0 : AAk>k_0 : |a_(n_k)-L|<\epsilon => \lim_{k \to \infty}a_(n_k)=L $
Quindi ogni sottosuccessione estratta tende allo stesso limite a cui tende la successione da cui è stata estratta. Right?
Poi mi è venuto un altro dubbio... ho trovato scritto:
"se $a_n -> k in RR$, allora, data una applicazione biunivoca $\sigma : NN -> NN$ si ha $a_(\sigma_n) -> k$ "
Quello a cui ho pensato suona più o meno così: se l'applicazione è biunivoca si può intuitivamente pensare che ogni naturale in partenza sia associato ad un solo naturale in arrivo, e così per tutti, sia in partenza che in arrivo. Sì, lo so che come dicitura è orribile, ma è fine solo ad esprimere il concetto
Ok, ma se io fossi perverso e volessi farmi del male? Data una certa $\epsilon$ trovo che la condizione di limite è rispettata dopo un certo $n_0$, mettiamo 5. Ora, visto che l'applicazione non ha limitazioni di sorta, tornando alla perversione di prima potrei far sì che essa parta da 6 e cresca: 6, 7, 8,... però prima o poi dovrò pur associare ad un $n$ "in partenza" i numeri $<= n_0$ (in questo caso 0, 1, 2, 3, 4, 5); potrei anche dire che $\sigma_(googol)=3$, e poi riprendere a crescere da "dov'ero rimasto"; poi, magari dico che $\sigma_((googol)^(googol))=1$, e poi riprendo a cresce di uno da dov'ero rimasto, ma per quanto "procrastini" prima o poi dovrò associare a 6 numeri ben definiti tutte le immagini minori di $n_0$ (detta meglio: prima o poi, a $n_0+1$ elementi del dominio dovranno essere associati come immagini gli $n_0+1$ interi minori o uguali a $n_0$ per cui la condizione di limite non è rispettata). Ma dopo aver definito tali elementi, ogni altra immagine della applicazione, per quanto casuale possa essa essere, sarà sicuramente maggiore di $n_0$, e quindi, da un certo n (magari non 5, ma più di un $(googol)^(googol)$, come avevo delirato prima) in poi la condizione di limite sarà rispettata, quindi si tratta "semplicemente" di ridefinire l'$n_0$, che dipenderà da $\epsilon$ in maniera completamente dipendente dall'applicazione scelta.
O sbaglio?
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