Dubbi su studio serie
Buonasera a tutti
oggi ho svolto alcuni esercizi sulle serie. Essendo i primi che svolgo, sono tutti molto semplici. Tuttavia, ho il dubbio di giungere al risultato in modo troppo frettoloso e, soprattutto, in modo poco rigoroso. Vorrei proporvi la mia risoluzione di alcuni esercizi e invitarvi a dispensare consigli su come avrei potuto svolgerli in modo più adeguato (in tutti gli esercizi si chiede di stabilire se la serie converge o no).
Esercizio 1
$\sum_{n=1}^infty (arctan((n+1)/(n+800)))^n$
Vi spiego i miei dubbi su come studiare questa serie.
Essa è palesemente a termini non negativi. Dubbio: dovrei dimostrarlo?
La successione è,sostanzialmente, l'unione di tre sottosuccessioni: l'argomento dell'arctotangente, l'arcotangente stesso e l'esponenziale. Dubbio: devo necessariamente calcolare separatamente il limite all'$infty$ dell'argomento e dell'arcotangente?
Esercizio 2
$\sum_{n=0}^infty ((n+3)/(3n+1))^((n^2+1)/(2n+3))$
Ecco come ho risolto:
La serie è asintoticamente equivalente a $\sum_{n=0}^infty (1/3)^((n)/(2))$ ed è a termini positivi.
$\lim_{n \to \infty}(1/3)^((n)/(2)) = 0$ $rArr$ può convergere.
Procedendo con il criterio del rapporto: $\lim_{n \to \infty}((1/3)^(n/2+1/2))/((1/3)^(n/2) )= \lim_{n \to \infty}sqrt(1/3) < 0 rArr$ converge.
Esercizio 3(ultimo per non tediarvi
)
$\sum_{n=0}^infty (n^3+2n^2+1)/(n^4sqrtn +3)$
La serie è palesemente a termini positivi.
$\lim_{n \to \infty}(n^3+2n^2+1)/(n^4sqrtn +3) = \lim_{n \to \infty}1/n = 0 rArr$ può convergere.
Confrontandola con $1/sqrt(n^3)$: $\lim_{n \to \infty}((n^9/2 +2n^7/2+n^3/2)/(n^3/2+3)) = \lim_{n \to \infty}((n^9/2(1+2/n+1/n^3))/(n^9/2(1+3/(n^9/2)))) = 1 rArr$ hanno lo stesso carattere.
Essendo $3/2 > 1$, la serie converge.
Ovviamente gli esercizi che vi ho proposto sono molto semplici, ma mi servono più che altro per capire se svolgo tutti i "punti" necessari per studiare le serie in modo rigoroso. Nei prossimi giorni probabilmente posterò altre domande sempre su esercizi riguardanti le serie (ovviamente più complessi).
Ringrazio in anticipo chi ha avuto voglia di leggere tutto il post, spero possiate darmi una mano con i miei dubbi!
oggi ho svolto alcuni esercizi sulle serie. Essendo i primi che svolgo, sono tutti molto semplici. Tuttavia, ho il dubbio di giungere al risultato in modo troppo frettoloso e, soprattutto, in modo poco rigoroso. Vorrei proporvi la mia risoluzione di alcuni esercizi e invitarvi a dispensare consigli su come avrei potuto svolgerli in modo più adeguato (in tutti gli esercizi si chiede di stabilire se la serie converge o no).
Esercizio 1
$\sum_{n=1}^infty (arctan((n+1)/(n+800)))^n$
Vi spiego i miei dubbi su come studiare questa serie.
Essa è palesemente a termini non negativi. Dubbio: dovrei dimostrarlo?
La successione è,sostanzialmente, l'unione di tre sottosuccessioni: l'argomento dell'arctotangente, l'arcotangente stesso e l'esponenziale. Dubbio: devo necessariamente calcolare separatamente il limite all'$infty$ dell'argomento e dell'arcotangente?
Esercizio 2
$\sum_{n=0}^infty ((n+3)/(3n+1))^((n^2+1)/(2n+3))$
Ecco come ho risolto:
La serie è asintoticamente equivalente a $\sum_{n=0}^infty (1/3)^((n)/(2))$ ed è a termini positivi.
$\lim_{n \to \infty}(1/3)^((n)/(2)) = 0$ $rArr$ può convergere.
Procedendo con il criterio del rapporto: $\lim_{n \to \infty}((1/3)^(n/2+1/2))/((1/3)^(n/2) )= \lim_{n \to \infty}sqrt(1/3) < 0 rArr$ converge.
Esercizio 3(ultimo per non tediarvi
)$\sum_{n=0}^infty (n^3+2n^2+1)/(n^4sqrtn +3)$
La serie è palesemente a termini positivi.
$\lim_{n \to \infty}(n^3+2n^2+1)/(n^4sqrtn +3) = \lim_{n \to \infty}1/n = 0 rArr$ può convergere.
Confrontandola con $1/sqrt(n^3)$: $\lim_{n \to \infty}((n^9/2 +2n^7/2+n^3/2)/(n^3/2+3)) = \lim_{n \to \infty}((n^9/2(1+2/n+1/n^3))/(n^9/2(1+3/(n^9/2)))) = 1 rArr$ hanno lo stesso carattere.
Essendo $3/2 > 1$, la serie converge.
Ovviamente gli esercizi che vi ho proposto sono molto semplici, ma mi servono più che altro per capire se svolgo tutti i "punti" necessari per studiare le serie in modo rigoroso. Nei prossimi giorni probabilmente posterò altre domande sempre su esercizi riguardanti le serie (ovviamente più complessi).
Ringrazio in anticipo chi ha avuto voglia di leggere tutto il post, spero possiate darmi una mano con i miei dubbi!
Risposte
Ciao beluga,
Per la serie proposta nell'Esercizio 1 avrei usato il criterio della radice:
$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} arctan(\frac{n + 1}{n + 800}) = arctan(1) = \pi/4 < 1 $
Pertanto la serie è convergente.
Per la serie proposta nell'Esercizio 1 avrei usato il criterio della radice:
$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} arctan(\frac{n + 1}{n + 800}) = arctan(1) = \pi/4 < 1 $
Pertanto la serie è convergente.
Okay grazie mille. Per quanto riguarda lo studio delle altre serie, c'è qualcosa che potrei migliorare in quanto a formalità?
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