Dubbi su serie con criteri del confronto asintotico e parametro
Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà con lo studio di queste due serie, si chiede per quale valore di a la serie converge:
$sum_{n=1}^oo n^(2a) sin (n^a)$ e $sum_{n=1}^oo n^(2a) ln (1+n^a)$
con a parametro reale.
Non riesco a individuare una serie $bn$ tale che $\lim_{n->+\infty} {an}/{bn} = 1$
è sufficiente qualche consiglio, poi provo a rifarla io.
Inoltre, che informazione mi da in genere il limite che tende ad infinito del termine generico? (o comunque analizzare l'andamento del termine generico) Se non ricordo male:
$\lim_{n->+\infty} {an} = 0$ implica che la serie può convergere. altrimenti sicuramente non convergerà. In questo caso potrebbe essere sufficiente questo studio? (per dire che non convergono)
Grazie a tutti!
$sum_{n=1}^oo n^(2a) sin (n^a)$ e $sum_{n=1}^oo n^(2a) ln (1+n^a)$
con a parametro reale.
Non riesco a individuare una serie $bn$ tale che $\lim_{n->+\infty} {an}/{bn} = 1$
è sufficiente qualche consiglio, poi provo a rifarla io.
Inoltre, che informazione mi da in genere il limite che tende ad infinito del termine generico? (o comunque analizzare l'andamento del termine generico) Se non ricordo male:
$\lim_{n->+\infty} {an} = 0$ implica che la serie può convergere. altrimenti sicuramente non convergerà. In questo caso potrebbe essere sufficiente questo studio? (per dire che non convergono)
Grazie a tutti!
Risposte
"freddoRm":
$\lim_{n->+\infty} {an} = 0$ implica che la serie può convergere. altrimenti sicuramente non convergerà. In questo caso potrebbe essere sufficiente questo studio? (per dire che non convergono)
Grazie a tutti!
Quello che dici è corretto... è condizione necessaria ma non sufficiente. Ma proprio per questo non stabilisce la convergenza della serie.
1)
La funzione seno assume valori compresi tra -1 e 1. Maggioriamo dunque: $ n^{2\alpha}*sen(n^{\alpha)) <=n^{2\alpha} $
Riconduciamoci al termine generale di una serie armonica generalizzata:
$ 1/n^{-2\alpha} $ e sappiamo convergere se:
$-2\alpha>1 -> \alpha<-1/2$
2)..
Per la seconda serie ti basta pensare a un termine che possa maggiorare $ln(1+n^\alpha)$., con $n>=1$
Un candidato potrebbe essere $n^{\alpha}$, che per $n>0$ è maggiore di $log(1+n^{\alpha})$...
Il confronto asintotico qui è un po difficile da usare perché gli argomenti (del seno o del logaritmo) non sono ifinitesimi, anzi, sono infiniti. E i limiti notevoli associati non tendono a 1...
Un candidato potrebbe essere $n^{\alpha}$, che per $n>0$ è maggiore di $log(1+n^{\alpha})$...
Il confronto asintotico qui è un po difficile da usare perché gli argomenti (del seno o del logaritmo) non sono ifinitesimi, anzi, sono infiniti. E i limiti notevoli associati non tendono a 1...
potresti anche usare le stime asintotiche a patto di ragionare sulla positività o negatività del parametro e facendo gli opportuni raccoglimenti ( sempre per $n -> + oo$)
Non essendo obbligato a usare il confronto, che metodo useresti?
Riguardo al criterio del confronto:
Ci viene insegnato che il limite deve essere uguale ad 1, ma sulle lezioni ho letto che può essere un qualunque numero finito affinché le due serie abbiano lo stesso carattere. Qual'è il senso di indicare solo il caso con 1?
Riguardo al criterio del confronto:
Ci viene insegnato che il limite deve essere uguale ad 1, ma sulle lezioni ho letto che può essere un qualunque numero finito affinché le due serie abbiano lo stesso carattere. Qual'è il senso di indicare solo il caso con 1?
in quel caso le maggiorazioni (come fatto da feddy) sono la via più veloce.
a me l'hanno insegnato con un qualunque valore finito $ L= lim_(n -> + oo) a_n/b_n $ . semplicemente il caso L=1 è un caso particolare di quello a me enunciato
a me l'hanno insegnato con un qualunque valore finito $ L= lim_(n -> + oo) a_n/b_n $ . semplicemente il caso L=1 è un caso particolare di quello a me enunciato
"feddy":
Per la seconda serie ti basta pensare a un termine che possa maggiorare $ln(1+n^\alpha)$., con $n>=1$
Un candidato potrebbe essere $n^{\alpha}$, che per $n>0$ è maggiore di $log(1+n^{\alpha})$...
Il confronto asintotico qui è un po difficile da usare perché gli argomenti (del seno o del logaritmo) non sono ifinitesimi, anzi, sono infiniti. E i limiti notevoli associati non tendono a 1...
in questo caso $n^(2a)$ non si considera ?
Non dovrei trovare qualcosa che sia maggiore di $n^(2a) * ln(1+n^a)$?
è quello che ho fatto. Sapendo che il logaritmo è minore, da un certo $n$ in poi, ho potuto maggiorarlo con $n^\alpha$. Ovviamente poi la serie va riscritta tenendo conto di $n^{2\alpha}$
sisi va considerato. lo devi moltiplicare a $n^a$ e studi poi il comportamento della serie armonica generalizzata al variare del parametro.
"feddy":
è quello che ho fatto. Sapendo che il logaritmo è minore, da un certo $n$ in poi, ho potuto maggiorarlo con $n^\alpha$. Ovviamente poi la serie va riscritta tenendo conto di $n^{2\alpha}$
dovrei studiare quindi $n^(2a)*n^a$? Scusate per la banalità
Leggendo cosa ho scritto ci sono arrivato
Grazie a tutti!
nessun problema
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