Dubbi su residuo
Salve a tutti,
Mi ritrovo con la seguente funzione e devo calcolarne i residui:
$e^(1/z)/(z(z-1))$
I punti che annullano il denominatore sono $ 0 $ e $1$, il residuo in $1$ è banale, ma per quanto riguarda il residuo in $0$ il numeratore diverge.
Mi verrebbe da sviluppare con Taylor ma non so se si può fare.
Hint?
Mi ritrovo con la seguente funzione e devo calcolarne i residui:
$e^(1/z)/(z(z-1))$
I punti che annullano il denominatore sono $ 0 $ e $1$, il residuo in $1$ è banale, ma per quanto riguarda il residuo in $0$ il numeratore diverge.
Mi verrebbe da sviluppare con Taylor ma non so se si può fare.
Hint?
Risposte
Prima di procedere con i calcoli bisogna classificare le singolarità. La singolarità in \(\displaystyle z=1 \) cosa è? Essendo :
quindi (per definizione) \(\displaystyle z=1 \) è un polo di ordine \(\displaystyle 1 \). Adesso classifichiamo \(\displaystyle z=0 \). Essendo :
allora la singolarità in \(\displaystyle z=0 \) è di tipo essenziale, ergo non è possibile calcolare direttamente il residuo in tale punto. Come si può fare?
Hint: conoscendo il residuo all'\(\displaystyle \infty \) potrebbe servirti a qualcosa per calcolare il residuo in \(\displaystyle 0 \)?
\(\displaystyle \lim_{z \to 1} (z-1) \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z(z-1)} = e \)
quindi (per definizione) \(\displaystyle z=1 \) è un polo di ordine \(\displaystyle 1 \). Adesso classifichiamo \(\displaystyle z=0 \). Essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z(z-1)} = \frac{\infty}{0} \)
allora la singolarità in \(\displaystyle z=0 \) è di tipo essenziale, ergo non è possibile calcolare direttamente il residuo in tale punto. Come si può fare?
Hint: conoscendo il residuo all'\(\displaystyle \infty \) potrebbe servirti a qualcosa per calcolare il residuo in \(\displaystyle 0 \)?
Ok, un modo sarebbe quello di svilupparmi la funzione intorno a $z=0$, oppure posso sfruttare il fatto che la somma dei residui al finito e all'infinito deve essere nulla.
Il residuo all'infinito è $- Res {f(1/w)* 1/w^2}|_(w=0)$
quindi
$1/w^2*e^w/(1/w*(1/w-1))$
$=e^w/(1-w)$
$=\sum_{n=1}^infty w^(2n)/(n!)$
Essendo l'ultima uguale a zero perchè non ci sono potenze negative di $w$, ne deduco che il residuo per $z=0$ deve essere $-e$
Il residuo all'infinito è $- Res {f(1/w)* 1/w^2}|_(w=0)$
quindi
$1/w^2*e^w/(1/w*(1/w-1))$
$=e^w/(1-w)$
$=\sum_{n=1}^infty w^(2n)/(n!)$
Essendo l'ultima uguale a zero perchè non ci sono potenze negative di $w$, ne deduco che il residuo per $z=0$ deve essere $-e$
Mi accorgo ora che forse ho fatto un passaggio illecito nei miei calcoli.
Infatti $ e^w/(1-w) = \sum_{n=0}^\infty\ w^n/(n!) * \sum_{m=0}^\infty\ w^m$ e non $\sum_{n=0}^\infty\ w^(2n)/(n!)$ come invece avevo scritto, perchè ovviamente $\sum_{n=0}^\infty\ w^n * \sum_{m=0}^\infty\ w^m != \sum_{n=0}^\infty\ w^(2n)$
Ora la mia domanda è: in questo caso, per trovare il residuo di $ e^w/(1-w) = \sum_{n=0}^\infty\ w^n/(n!) * \sum_{m=0}^\infty\ w^m$ devo imporre $n+m=-1$ cioè $n=-1-m$ e quindi avrei che $d_1= 1/((-1-m)!)$, ma in questo caso ho un indice libero $m$ che non saprei come trattare
Infatti $ e^w/(1-w) = \sum_{n=0}^\infty\ w^n/(n!) * \sum_{m=0}^\infty\ w^m$ e non $\sum_{n=0}^\infty\ w^(2n)/(n!)$ come invece avevo scritto, perchè ovviamente $\sum_{n=0}^\infty\ w^n * \sum_{m=0}^\infty\ w^m != \sum_{n=0}^\infty\ w^(2n)$
Ora la mia domanda è: in questo caso, per trovare il residuo di $ e^w/(1-w) = \sum_{n=0}^\infty\ w^n/(n!) * \sum_{m=0}^\infty\ w^m$ devo imporre $n+m=-1$ cioè $n=-1-m$ e quindi avrei che $d_1= 1/((-1-m)!)$, ma in questo caso ho un indice libero $m$ che non saprei come trattare
Abbastanza evidentemente le espansioni di Laurent intorno a $0$ dei due fattori sono:
\[
\begin{split}
\frac{1}{z}\ \mathbf{e}^{1/z} &= \sum_{n=1}^\infty \underbrace{\frac{1}{(n-1)!}}_{=a_{-n}}\ \frac{1}{z^n}\\
\frac{1}{z-1} = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{(-1)}_{=b_n}\ z^n
\end{split}
\]
cosicché il coefficiente $c_{-1}$ del prodotto secondo Cauchy delle due serie è:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{k+h=-1} a_h\ b_k \\
&= \sum_{n=1}^\infty a_{-n}\ b_{n-1}\\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{-1}{(n-1)!}\\
&=-\mathbf{e}
\end{split}
\]
se l'ora tarda non mi inganna.
Ad ogni buon conto, per verificare basta applicare il Terzo Teorema dei Residui, dopo aver calcolato il residuo in $\infty$.
\[
\begin{split}
\frac{1}{z}\ \mathbf{e}^{1/z} &= \sum_{n=1}^\infty \underbrace{\frac{1}{(n-1)!}}_{=a_{-n}}\ \frac{1}{z^n}\\
\frac{1}{z-1} = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{(-1)}_{=b_n}\ z^n
\end{split}
\]
cosicché il coefficiente $c_{-1}$ del prodotto secondo Cauchy delle due serie è:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{k+h=-1} a_h\ b_k \\
&= \sum_{n=1}^\infty a_{-n}\ b_{n-1}\\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{-1}{(n-1)!}\\
&=-\mathbf{e}
\end{split}
\]
se l'ora tarda non mi inganna.
Ad ogni buon conto, per verificare basta applicare il Terzo Teorema dei Residui, dopo aver calcolato il residuo in $\infty$.
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