Dubbi su positività funzione e asintoti!
Buon Pomeriggio, sto studiando una funzione che ha il seguente testo: \( e^{\frac{x^2 + 1}{x^2 -1}} \)
Il Dominio che ho calcolato, se tutto è fatto bene, mi viene D: \( ( - \infty , -1 ) U ( 1, +\infty ) \) però non capisco perchè la funzione mi viene detto che è pari ( l'esercizio è un esercizio svolto del libro ). Nel senso per vedere se la funzione è positiva vedo se f(x) = f(-x) ! \( f(-x) = e^{\frac{-x^2 + 1}{-x^2 -1}} \) è così o sbaglio? Ha senso scrivere \( -x^2 \) al numeratore e denominatore dell'esponente?
Poi altra domanda quando vado a farmi gli asintoti da quale comincio? Dal verticale? Qua ho visto che calcola l'asintoto verticale \( \lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=0 \) ma perchè considera solo l'esponente della e mentre non considera la e? Del resto la funzione è \( e^{\frac{x^2 + 1}{x^2 -1}} \) e non \( {\frac{x^2 + 1}{x^2 -1}} \) giusto? Inoltre ho un altro dubbio sugli asintoti. Ma sbaglio o bisogna calcolarli nei punti di discontinuità? E Quindi perchè li calcola solo nei limiti che tendono a \( 1^+ \) e \( 1^- \) ?? Non dovrebbe calcolarli ( visto che sono presenti nel dominio ) anche per x che tende a \( -1^+ \) e \( -1^- \) ??
Scusate la confusione ma non ci sto capendo più nulla
Il Dominio che ho calcolato, se tutto è fatto bene, mi viene D: \( ( - \infty , -1 ) U ( 1, +\infty ) \) però non capisco perchè la funzione mi viene detto che è pari ( l'esercizio è un esercizio svolto del libro ). Nel senso per vedere se la funzione è positiva vedo se f(x) = f(-x) ! \( f(-x) = e^{\frac{-x^2 + 1}{-x^2 -1}} \) è così o sbaglio? Ha senso scrivere \( -x^2 \) al numeratore e denominatore dell'esponente?
Poi altra domanda quando vado a farmi gli asintoti da quale comincio? Dal verticale? Qua ho visto che calcola l'asintoto verticale \( \lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=0 \) ma perchè considera solo l'esponente della e mentre non considera la e? Del resto la funzione è \( e^{\frac{x^2 + 1}{x^2 -1}} \) e non \( {\frac{x^2 + 1}{x^2 -1}} \) giusto? Inoltre ho un altro dubbio sugli asintoti. Ma sbaglio o bisogna calcolarli nei punti di discontinuità? E Quindi perchè li calcola solo nei limiti che tendono a \( 1^+ \) e \( 1^- \) ?? Non dovrebbe calcolarli ( visto che sono presenti nel dominio ) anche per x che tende a \( -1^+ \) e \( -1^- \) ??
Scusate la confusione ma non ci sto capendo più nulla
Risposte
Allora c'è una grandissima confusione generale...
Cancella tutto e ricominciamo da capo.
Prima di tutto una funzione è PARI se $f(x)=f(-x)$ il che non centra assolutamente NIENTE con la POSITIVITà di una funzione, e questo salvalo nella roccia.
Premesso questo, se una funzione è pari vuol dire che è simmetrica rispetto all'asse $y$, questo vuol dire che una volta che so ad esempio il comportamento (o il disegno) della funzione per le $x>0$ allora riflettendo il disegno ed il comportamento a specchio so anche il comportamento per le $x<0$ senza bisogno di fare conti; questo per inciso risponde all'ultima domanda che hai fatto, ed è appunto il motivo per cui non è assolutamente necessario calcolare i limiti anche in $-1^+$ e $-1^-$ perché saranno uguali rispettivamente a quelli calcolati in $1^-$ e $1^+$ sempre a causa della PARITà.
per rispondere alla prima domanda, si è sbagliato ed anche di brutto! Perché
$$
f(x)=e^{\frac{x^2+1}{x^2-1}}
$$
mentre
$$
f(x)=e^{\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1}}=e^{\frac{x^2+1}{x^2-1}}
$$
perché $(-x)^2=x^2$ e quindi hai che $f(x)=f(-x)$ perciò la funzione è pari.
Per i limiti parti da quelli che preferisci... il libro calcola il limite solo per l'argomento perché tanto è lo stesso, poiché per la continuità dei limiti si dimostra che il limite di un esponenziale è uguale all'esponenziale del limite ovvero:
$$
\lim_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim_{x\to x_0}{g(x)}}
$$
Cancella tutto e ricominciamo da capo.
Prima di tutto una funzione è PARI se $f(x)=f(-x)$ il che non centra assolutamente NIENTE con la POSITIVITà di una funzione, e questo salvalo nella roccia.
Premesso questo, se una funzione è pari vuol dire che è simmetrica rispetto all'asse $y$, questo vuol dire che una volta che so ad esempio il comportamento (o il disegno) della funzione per le $x>0$ allora riflettendo il disegno ed il comportamento a specchio so anche il comportamento per le $x<0$ senza bisogno di fare conti; questo per inciso risponde all'ultima domanda che hai fatto, ed è appunto il motivo per cui non è assolutamente necessario calcolare i limiti anche in $-1^+$ e $-1^-$ perché saranno uguali rispettivamente a quelli calcolati in $1^-$ e $1^+$ sempre a causa della PARITà.
per rispondere alla prima domanda, si è sbagliato ed anche di brutto! Perché
$$
f(x)=e^{\frac{x^2+1}{x^2-1}}
$$
mentre
$$
f(x)=e^{\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1}}=e^{\frac{x^2+1}{x^2-1}}
$$
perché $(-x)^2=x^2$ e quindi hai che $f(x)=f(-x)$ perciò la funzione è pari.
Per i limiti parti da quelli che preferisci... il libro calcola il limite solo per l'argomento perché tanto è lo stesso, poiché per la continuità dei limiti si dimostra che il limite di un esponenziale è uguale all'esponenziale del limite ovvero:
$$
\lim_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim_{x\to x_0}{g(x)}}
$$
"Bossmer":
Allora c'è una grandissima confusione generale...
Cancella tutto e ricominciamo da capo.
Prima di tutto una funzione è PARI se $f(x)=f(-x)$ il che non centra assolutamente NIENTE con la POSITIVITà di una funzione, e questo salvalo nella roccia.
Premesso questo, se una funzione è pari vuol dire che è simmetrica rispetto all'asse $y$, questo vuol dire che una volta che so ad esempio il comportamento (o il disegno) della funzione per le $x>0$ allora riflettendo il disegno ed il comportamento a specchio so anche il comportamento per le $x<0$ senza bisogno di fare conti; questo per inciso risponde all'ultima domanda che hai fatto, ed è appunto il motivo per cui non è assolutamente necessario calcolare i limiti anche in $-1^+$ e $-1^-$ perché saranno uguali rispettivamente a quelli calcolati in $1^-$ e $1^+$ sempre a causa della PARITà.
per rispondere alla prima domanda, si è sbagliato ed anche di brutto! Perché
$$
f(x)=e^{\frac{x^2+1}{x^2-1}}
$$
mentre
$$
f(x)= \( \lim_{x\rightarrow 1^-} e^{\frac{x^2+1}{x^2-1}} \)
$$
perché $(-x)^2=x^2$ e quindi hai che $f(x)=f(-x)$ perciò la funzione è pari.
Per i limiti parti da quelli che preferisci... il libro calcola il limite solo per l'argomento perché tanto è lo stesso, poiché per la continuità dei limiti si dimostra che il limite di un esponenziale è uguale all'esponenziale del limite ovvero:
$$
\lim_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim_{x\to x_0}{g(x)}}
$$
Allora innanzitutto grazie della risposta
! Si c'è una grossa confusione nella mia testa purtroppo 
... Comunque ho capito i ragionamenti sulla funzione PARI ecc... Non ho capito però una cosa sul limite, prendiamo ad esempio limite dell'asintoto verticale \( \lim_{x\rightarrow 1^-} e^{\frac{x^2+1}{x^2-1}} \) se vado a sostituire mi viene fuori \( \lim_{x\rightarrow 1^-} e^{\frac{(1^-)^2+1}{(1^-)^2-1}} \) ! Dunque sul libro mi dice che il numeratore tende a 2 e qui ho il primo dubbio cioè \( (1^-)^2 \) viene \( 1^+ \) ?? In questo modo il numeratore verrebbe fuori \( 1^+ + 1 \) ?? Poi al denominatore non ho capito perchè tende a 0 con valori negativi.Poi ammesso che tutto ciò è vero non capisco come il risultato di queste operazioni che nel libro viene fuori \( {\frac{2}{0^-}} \) venga uguale a \( -\infty \)
e poi tendendo l'esponente a \( -\infty \) tutto il limite viene fuori \( \lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=0 \) quindi vuol dire che e elevato alla \( -\infty \) viene 0? Infine volevo capire se quindi in ogni limite con esponenziale posso calcolare solo l'esponente... Grazie !
Allora leggendo la tipologia di dubbi che hai sui limiti dovresti studiare un po' di più...
Innanzi tutto se non sei sicuro che $\lim_{x\to 0^-} \frac{2}{x}=-\infty$ e che $\lim_{x\to 0^+} \frac{2}{x}=+\infty$ allora dovresti prendere un libro delle superiori e ristudiare da capo tutto quello che c'è scritto sui limiti.
Per capirlo a soldoni, prova con la calcolatrice a fare $2$ diviso un numero sempre più piccolo (cioè più vicino a zero) avrai un numero sempre più grande.... ora prova a dividere 2 per un numero sempre più piccolo ma negativo, avrai si un numero sempre più grande ma col segno meno davanti.
In secondo luogo, il limite di $e^{-x}$ per $x\to +\infty$ tende a zero, in maniera pleonastica, basta che guardi il grafico dell'esponenziale per capirlo. Ed equivalentemente il limite di $e^x$ per $x\to - \infty$ tende anche lui a zero.
Per il primo quesito invece stai confondendo destra e sinistra con positivo e negativo... sono due cose che non centrano niente( o quasi) allora innanzi tutto $(1^+)^2=1^+$ e anche $(1^-)^2=1^-$ poi tu la devi vedere così:
Per il numeratore hai che se sommi ad $1$ un numero $x^2$ che si avvicina ad uno da destra$(1^+)$ allora stai facendo una somma del tipo : $1.1111^2 +1$ , $ 1.01111^2 +1 $ , $1.00001^2 +1 $ e così via che chiaramente fa $2$ e se ti avvicini da sinistra fa ancora $2$ perché stai facendo :$0.99^2+1$ ,$0.9999^2 +1 $ e così via...
per il denominatore se ti avvicini da destra stai facendo $1.1111^2 -1$ , $ 1.01111^2 -1 $ , $1.00001^2 -1 $ che è una sottrazione sempre maggiore di zero, ma che si avvicina sempre di più a zero, quindi il denominatore tende a $0^+$ .
mentre se ti avvicini da sinistra stai facendo :$0.99^2-1$ ,$0.9999^2 -1 $ e così via, che è una sottrazione sempre negativa che si avvicina sempre di più a zero, quindi tende a $0^-$ e per quanto detto all'inizio hai i risultati che ti aspettavi.
Innanzi tutto se non sei sicuro che $\lim_{x\to 0^-} \frac{2}{x}=-\infty$ e che $\lim_{x\to 0^+} \frac{2}{x}=+\infty$ allora dovresti prendere un libro delle superiori e ristudiare da capo tutto quello che c'è scritto sui limiti.
Per capirlo a soldoni, prova con la calcolatrice a fare $2$ diviso un numero sempre più piccolo (cioè più vicino a zero) avrai un numero sempre più grande.... ora prova a dividere 2 per un numero sempre più piccolo ma negativo, avrai si un numero sempre più grande ma col segno meno davanti.
In secondo luogo, il limite di $e^{-x}$ per $x\to +\infty$ tende a zero, in maniera pleonastica, basta che guardi il grafico dell'esponenziale per capirlo. Ed equivalentemente il limite di $e^x$ per $x\to - \infty$ tende anche lui a zero.
Per il primo quesito invece stai confondendo destra e sinistra con positivo e negativo... sono due cose che non centrano niente( o quasi) allora innanzi tutto $(1^+)^2=1^+$ e anche $(1^-)^2=1^-$ poi tu la devi vedere così:
Per il numeratore hai che se sommi ad $1$ un numero $x^2$ che si avvicina ad uno da destra$(1^+)$ allora stai facendo una somma del tipo : $1.1111^2 +1$ , $ 1.01111^2 +1 $ , $1.00001^2 +1 $ e così via che chiaramente fa $2$ e se ti avvicini da sinistra fa ancora $2$ perché stai facendo :$0.99^2+1$ ,$0.9999^2 +1 $ e così via...
per il denominatore se ti avvicini da destra stai facendo $1.1111^2 -1$ , $ 1.01111^2 -1 $ , $1.00001^2 -1 $ che è una sottrazione sempre maggiore di zero, ma che si avvicina sempre di più a zero, quindi il denominatore tende a $0^+$ .
mentre se ti avvicini da sinistra stai facendo :$0.99^2-1$ ,$0.9999^2 -1 $ e così via, che è una sottrazione sempre negativa che si avvicina sempre di più a zero, quindi tende a $0^-$ e per quanto detto all'inizio hai i risultati che ti aspettavi.
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