Dubbi su misura e integrazione alla Lebesgue

[andreamaracci]

Salve a tutti, ho un paio di domande su misura e integrazione che condenso nello stesso topic per non spammare

1) Nel seguente teorema

$f_n : A \to \bar RR, A sube RR^n, A$ L-misurabile, $f_n$ L-misurabile $vvn in NN$ allora
i) $"sup"_{n}( f_n), "inf"_n( f_n)$ sono L-misurabili
ii) $ lim_{ n \to \infty} "sup"( f_n), lim_{ n \to \infty} "inf"( f_n)$ sono L-misurabili

Non riesco proprio a capire cosa significhi il sup di una successione di funzioni... è una funzione? e in base a quale relazione d'ordine è definito?


2) Il mio professore di analisi ha dato la seguente definizione di integrazione alla lebesgue per funzioni non negative:
Sia $A sube RR^n, A " L-misurabile", f: A \to \bar RR " L-misurabile", f >=0$
Definiamo una scomposizione finita di A $\sigma := { A_k; k in B, A_k sube A }$
con $B$ finito o numerabile e $A_k nn A_n = 0$ $vv k!=n$, $uuu_{k in B} A_k = A$
Definiamo le somme superiori e inferiori come:
$S(f,\sigma) = \sum_{k in b} "sup"_{A_k}( f) * \mu(A_k)$
$s(f,\sigma) = \sum_{k in b} "inf"_{A_k}( f) * \mu(A_k)$
Sia $\Omega_A$ l'insieme delle scomposizioni finite
$f$ si dice integrabile secondo lebesgue se $"sup"_{ \sigma in \Omega_A }( s(\sigma,f)) = "inf"_{ \sigma in \Omega_A }( S(\sigma,f))$ ($\sigma' >= \sigma$ se $\sigma sube \sigma'$)

Da questa definizione non riesco a vedere dove stanno le differenze con l'integrale di Riemann... cioè se $A sube RR$ non sono esattamente la stessa cosa?
Oppure il fatto che sia presente $\mu(A_k)$ cambia qualcosa?

[gugo82]

1) Beh, le funzioni $F:="sup"_n f_n, f:="inf"_nf_n$ sono definite dalle assegnazioni:

$F(x)="sup"_n f_n(x)="sup" \{ f_n(x)\}_(n \in NN) \quad$ e $\quad f(x)="inf"_n f_n(x)="inf" \{ f_n(x)\}_(n \in NN) \quad$;

analogamente, le funzioni $Phi:=maxlim_n f_n,phi:=minlim f_n$ sono definite da:

$Phi(x)=maxlim_n f_n(x) \quad$ e $\quad phi(x)=minlim_n f_n(x) \quad$.

Insomma, fissi il valore della variabile e prendi estremo superiore, inferiore, massimo limite e minimolimite della successione numerica $\{ f_n(x)\}$.


2) La storia cambia perchè lì stai considerando decomposizioni fatte da insiemi misurabili secondo Lebesgue, mentre quando costruisci l'integrale di Riemann usi gli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan.
Come ben sai gli insiemi misurabili secondo L sono molti di più di quelli misurabili secondo P-J (ad esempio, $QQ$ è misurabile secondo L ma non secondo P-J) e, d'altra parte, ogni insieme misurabile secondo P-J è pure misurabile secondo L.
Quindi quegli estremi superiori ed inferiori sono fatti su una famiglia (strettamente) più grande di insiemi: ciò spiega perchè tutte le funzioni integrabili alla Riemann sono integrabili alla Lebesgue e perchè non vale il viceversa.