Dubbi su massimi e minimi e su funzioni monotone
ciao a tutti, avrei qualche dubbio sulle funzioni monotone e sui massimi e i minimi. Vi mostro quattro esercizi che non sono riuscito a svolgere, o di cui non sono convinto.
1)data $f(x) = x + arctanx$
dimostrare che essa è strettamente monotona da $RR$ in $RR$. Detta $g$ la funzione inversa calcolare $g'(1 + π/4)$.
Ecco come ho svolto l esercizio
$f'(x) = 1 + 1/(1 + x^2) $
ora studio per quali x la mia $f'(x)$ è maggiore di zero. Per tali x la mia funzione sarà monotona strettamente crescente( giusto?)
$f'(x) = (2 + x^2)(1+ x^2) >0 $
$ 2 + x^2 >0 $ sempre
$1+ x^2 >0$ sempre
quindi la mia funzione è monotona strettamente crescente su tutto $RR$.
Ora ho un dubbio teorico. Una funzione strettamente monotona su un intervallo è sempre invertibile su quell'intervallo?
Io ho ragionato come se ciò fosse vero, da cui
$x= 1 -> f(1) = 1 + π/4 $
quindi
$g(1 + π/4) = 1 $
$f'(1) = 1 + 1/2 = 3/2$
e $g'(1 + π/4) = 2/3$
è corretto?
2)Mi viene chiesto di determinare il più grande intervallo $I$ contenente l'origine dove è invertibile la funzione
$f(x)= x^4 - 4x + 1$
inoltre, detta $f^(-1) (x) $ la funzione inversa su $I$ determinare il dominio e calcolare $(f^(-1))'(6)$
ecco, io ho provato a svolgere l'esercizio nel seguente modo. Sapendo che una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca, e sapendo che se la mia funzione è strettamente monotona essa è anche biunivoca, io derivo la mia funzione e ne studio il segno
$f'(x) = 4x^3 - 4 $
$f'(x) >0 iff 4x^3 - 4 >0 iff 4x^3 > 4 iff x^3 > 1 iff x > root(3)(1) iff x > 1 $
quindi so che per $x>1$ la mia funzione è strettamente crescente ( di conseguenza è strettamente decrescente per $x<1$)
ragionando in questo modo mi risulta quindi che la mia funzione è monotona strettamente decrescente, e quindi biunivoca, su $I = (-infty, 1]$ che mi pare sia l'intervallo cercato. Qualcuno sa dirmi se è corretto il modo in cui ho svolto finora l'esercizio?inoltre, andando avanti da qui, cosa si intende per dominio dell'inversa? Semplicemente $f(I)$ ? per quanto riguarda la derivata dell'inversa in 6 pensavo di ragionare come nell'esercizio precedente.
3)mi viene chiesto di determinare i massimi e i minimi di
$f(x) = |x| + |2x -1|$
in $I= [-1, 1]$
ora, io coi moduli vado sempre nel pallone, perciò se qualcuno ha un'idea più "efficiente" di svolgere l'esercizio, è ben accetta.
Comunque, io ho svolto in questo modo l'esercizio
$f(x) = {(-x -2x +1, -1 <= x < 0),(-2x +1 +x , 0 <= x < 1/2),(x+ 2x -1, 1/2 <= x <= 1):} = {(-3x +1, -1 <= x < 0),(-x +1 , 0 <= x < 1/2),( 3x -1, 1/2 <= x <= 1):}$
da cui
$f'(x) = {(-3, -1 <= x < 0),(-1 , 0 <= x < 1/2),( 3, 1/2 <= x <= 1):}$
ora, per trovare eventuali massimi e minimi, l'unico metodo che conosco è quello di imporre la derivata uguale a zero. Ma qui la derivata è una costante, e non so cosa fare. L'unica cosa che mi è venuta in mente è di andare a vedere i valori che la funzione assume agli estremi dell'intervallo, e nei punti in cui i moduli cambiano ${0 , 1/2}$
quindi
$f(-1) = 4$
$f(0) = 1$
$f(1) = 2$
$f(1/2) = 1/2 $
ora, non penso di aver svolto correttamente il tutto. Qualcuno saprebbe dirmi se ci sono errori, o se ho tralasciato qualcosa?
4)mi viene richiesto di trovare eventuali massimi e minimi della funzione
$f(x) = x - log(x^2 + x + 1) + 2 sqrt(3) arctan ( (2x+1)/sqrt(3))$
anche qui, per prima cosa derivo
$f'(x) = 1 - (2x+1)/(x^2 + x + 1) + 3/(x^2 +x +1) = 1 - (2x + 4)/(x^2 +x +1) $
da qui pongo la derivata uguale a zero, i punti per cui varrà questa equazione saranno quelli in cui si potranno trovare dei massimi e dei minimi
$f'(x) = 0 iff 1 - (2x + 4)/(x^2 +x +1) = 0 iff (x^2 -x -3)/(x^2 +x +1) = 0 iff x^2 -x -3 = 0 iff x = (1+- sqrt(13))/2$
da qui studio il segno della funzione. Risolvendo
$ f'(x) = (x^2 -x -3)/(x^2 +x +1) >0$
che vale sempre per $x < (1- sqrt(13))/2 vv x > (1+ sqrt(13))/2$
quindi so che prima di $ (1- sqrt(13))/2$ la funzione cresce , e dopo decresce. e che prima di (1+ sqrt(13))/2 la funzione decresce, mentre dopo cresce. Concludo che
$x_1= (1- sqrt(13))/2$ è massimo relativo
$x_2= (1+ sqrt(13))/2$ è minimo relativo
E' corretto?
Ora, una domanda in più. Se l'esercizio mi avesse chiesto tutti i massimi ed i minimi, anche assoluti, per intenderci, in generale, avrei dovuto anche considerare il fatto che la mia funzione può andare a $+- infty$ per x che vanno a $ +- infty$ ?
Come dire, posso considerare $infty$ come massimo o minimo della mia funzione o solo come estremo superiore( o inferiore) dell'immagine $f(I)$?
ringrazio tutti in anticipo per la disponibilità
1)data $f(x) = x + arctanx$
dimostrare che essa è strettamente monotona da $RR$ in $RR$. Detta $g$ la funzione inversa calcolare $g'(1 + π/4)$.
Ecco come ho svolto l esercizio
$f'(x) = 1 + 1/(1 + x^2) $
ora studio per quali x la mia $f'(x)$ è maggiore di zero. Per tali x la mia funzione sarà monotona strettamente crescente( giusto?)
$f'(x) = (2 + x^2)(1+ x^2) >0 $
$ 2 + x^2 >0 $ sempre
$1+ x^2 >0$ sempre
quindi la mia funzione è monotona strettamente crescente su tutto $RR$.
Ora ho un dubbio teorico. Una funzione strettamente monotona su un intervallo è sempre invertibile su quell'intervallo?
Io ho ragionato come se ciò fosse vero, da cui
$x= 1 -> f(1) = 1 + π/4 $
quindi
$g(1 + π/4) = 1 $
$f'(1) = 1 + 1/2 = 3/2$
e $g'(1 + π/4) = 2/3$
è corretto?
2)Mi viene chiesto di determinare il più grande intervallo $I$ contenente l'origine dove è invertibile la funzione
$f(x)= x^4 - 4x + 1$
inoltre, detta $f^(-1) (x) $ la funzione inversa su $I$ determinare il dominio e calcolare $(f^(-1))'(6)$
ecco, io ho provato a svolgere l'esercizio nel seguente modo. Sapendo che una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca, e sapendo che se la mia funzione è strettamente monotona essa è anche biunivoca, io derivo la mia funzione e ne studio il segno
$f'(x) = 4x^3 - 4 $
$f'(x) >0 iff 4x^3 - 4 >0 iff 4x^3 > 4 iff x^3 > 1 iff x > root(3)(1) iff x > 1 $
quindi so che per $x>1$ la mia funzione è strettamente crescente ( di conseguenza è strettamente decrescente per $x<1$)
ragionando in questo modo mi risulta quindi che la mia funzione è monotona strettamente decrescente, e quindi biunivoca, su $I = (-infty, 1]$ che mi pare sia l'intervallo cercato. Qualcuno sa dirmi se è corretto il modo in cui ho svolto finora l'esercizio?inoltre, andando avanti da qui, cosa si intende per dominio dell'inversa? Semplicemente $f(I)$ ? per quanto riguarda la derivata dell'inversa in 6 pensavo di ragionare come nell'esercizio precedente.
3)mi viene chiesto di determinare i massimi e i minimi di
$f(x) = |x| + |2x -1|$
in $I= [-1, 1]$
ora, io coi moduli vado sempre nel pallone, perciò se qualcuno ha un'idea più "efficiente" di svolgere l'esercizio, è ben accetta.
Comunque, io ho svolto in questo modo l'esercizio
$f(x) = {(-x -2x +1, -1 <= x < 0),(-2x +1 +x , 0 <= x < 1/2),(x+ 2x -1, 1/2 <= x <= 1):} = {(-3x +1, -1 <= x < 0),(-x +1 , 0 <= x < 1/2),( 3x -1, 1/2 <= x <= 1):}$
da cui
$f'(x) = {(-3, -1 <= x < 0),(-1 , 0 <= x < 1/2),( 3, 1/2 <= x <= 1):}$
ora, per trovare eventuali massimi e minimi, l'unico metodo che conosco è quello di imporre la derivata uguale a zero. Ma qui la derivata è una costante, e non so cosa fare. L'unica cosa che mi è venuta in mente è di andare a vedere i valori che la funzione assume agli estremi dell'intervallo, e nei punti in cui i moduli cambiano ${0 , 1/2}$
quindi
$f(-1) = 4$
$f(0) = 1$
$f(1) = 2$
$f(1/2) = 1/2 $
ora, non penso di aver svolto correttamente il tutto. Qualcuno saprebbe dirmi se ci sono errori, o se ho tralasciato qualcosa?
4)mi viene richiesto di trovare eventuali massimi e minimi della funzione
$f(x) = x - log(x^2 + x + 1) + 2 sqrt(3) arctan ( (2x+1)/sqrt(3))$
anche qui, per prima cosa derivo
$f'(x) = 1 - (2x+1)/(x^2 + x + 1) + 3/(x^2 +x +1) = 1 - (2x + 4)/(x^2 +x +1) $
da qui pongo la derivata uguale a zero, i punti per cui varrà questa equazione saranno quelli in cui si potranno trovare dei massimi e dei minimi
$f'(x) = 0 iff 1 - (2x + 4)/(x^2 +x +1) = 0 iff (x^2 -x -3)/(x^2 +x +1) = 0 iff x^2 -x -3 = 0 iff x = (1+- sqrt(13))/2$
da qui studio il segno della funzione. Risolvendo
$ f'(x) = (x^2 -x -3)/(x^2 +x +1) >0$
che vale sempre per $x < (1- sqrt(13))/2 vv x > (1+ sqrt(13))/2$
quindi so che prima di $ (1- sqrt(13))/2$ la funzione cresce , e dopo decresce. e che prima di (1+ sqrt(13))/2 la funzione decresce, mentre dopo cresce. Concludo che
$x_1= (1- sqrt(13))/2$ è massimo relativo
$x_2= (1+ sqrt(13))/2$ è minimo relativo
E' corretto?
Ora, una domanda in più. Se l'esercizio mi avesse chiesto tutti i massimi ed i minimi, anche assoluti, per intenderci, in generale, avrei dovuto anche considerare il fatto che la mia funzione può andare a $+- infty$ per x che vanno a $ +- infty$ ?
Come dire, posso considerare $infty$ come massimo o minimo della mia funzione o solo come estremo superiore( o inferiore) dell'immagine $f(I)$?
ringrazio tutti in anticipo per la disponibilità
Risposte
"fenghuang":
ora studio per quali x la mia $f'(x)$ è maggiore di zero. Per tali x la mia funzione sarà monotona strettamente crescente( giusto?)
Esatto, ma non solo: dove $f'(x)<0$ la funzione sarà strettamente decrescente e, anche qui, monotona.
Ora ho un dubbio teorico. Una funzione strettamente monotona su un intervallo è sempre invertibile su quell'intervallo?
Sì, perché iniettiva (e se ci si restringe opportunamente con il dominio, anche suriettiva).
Per il resto il mio ragionamento è uguale al tuo, ma io non sono attendibile riguardo a funzioni inverse e derivate di funzioni inverse, quindi ti invito ad aspettare altre risposte.
2)Mi viene chiesto di determinare il più grande intervallo $I$ contenente l'origine dove è invertibile la funzione
$f(x)= x^4 - 4x + 1$[...]
ecco, io ho provato a svolgere l'esercizio nel seguente modo. Sapendo che una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca, e sapendo che se la mia funzione è strettamente monotona essa è anche biunivoca,[...]ragionando in questo modo mi risulta quindi che la mia funzione è monotona strettamente decrescente, e quindi biunivoca, su $I = (-infty, 1]$ che mi pare sia l'intervallo cercato. Qualcuno sa dirmi se è corretto il modo in cui ho svolto finora l'esercizio?
E' corretto. Trovi 2 intervalli: uno in cui è strettamente decrescente, l'altro in cui è strettamente crescente dunque restringendoti a ognuno di questi due la funzione è monotona.
Quindi scegli il più grande e lo trovi.
inoltre, andando avanti da qui, cosa si intende per dominio dell'inversa? Semplicemente $f(I)$ ?
Sì, il codominio/immagine della funzione di partenza ovviamente ristretta nell'intervallo scelto.
3)mi viene chiesto di determinare i massimi e i minimi di $f(x) = |x| + |2x -1|$
in $I= [-1, 1]$
Non so di un modulo più efficiente di quello che hai usato tu.
ora, per trovare eventuali massimi e minimi, l'unico metodo che conosco è quello di imporre la derivata uguale a zero. Ma qui la derivata è una costante, e non so cosa fare. L'unica cosa che mi è venuta in mente è di andare a vedere i valori che la funzione assume agli estremi dell'intervallo, e nei punti in cui i moduli cambiano ${0 , 1/2}$[...]
ora, non penso di aver svolto correttamente il tutto. Qualcuno saprebbe dirmi se ci sono errori, o se ho tralasciato qualcosa?
E' una questione piuttosto lunga e laboriosa. Le derivate negli intervallini sono costanti, dunque la funzione è monotòna in ogni intervallino.
Tuttavia, occorre vedere 2 cose:
- il valore della funzione agli estremi dell'intervallo totale, cioè -1 e 1
- quello che fa la funzione in un intorno vicino a tali estremi per vedere se -1 e 1 sono massimi/minimi locali (la globalità la dici alla fine)
- quello che fa la funzione intorno ai punti di non derivabilità.
L'esempio pratico è $f(x)=|x|$ per $x=0$. Per $x=0$ la funzione non è derivabile, ma in $x=0$ la funzione assume minimo (globale in questo caso).
Lo si può vedere con un ragionamento del tipo: in un intorno dello zero $f'$ a sinistra è decrescente e a destra è crescente. Poiché nello zero è definita e non ci sono "salti" (è pur sempre continua), lo zero è un punto di minimo.
4)mi viene richiesto di trovare eventuali massimi e minimi della funzione
$f(x) = x - log(x^2 + x + 1) + 2 sqrt(3) arctan ( (2x+1)/sqrt(3))$[...]pongo la derivata uguale a zero, i punti per cui varrà questa equazione saranno quelli in cui si potranno trovare dei massimi e dei minimi[...]quindi so che prima di $ (1- sqrt(13))/2$ la funzione cresce , e dopo decresce. e che prima di (1+ sqrt(13))/2 la funzione decresce, mentre dopo cresce. Concludo che
$x_1= (1- sqrt(13))/2$ è massimo relativo
$x_2= (1+ sqrt(13))/2$ è minimo relativo
E' corretto?
Se sono giusti i calcoli sì (non vedo errori, ma io in genere li faccio e difficilmente li coreggo).
Per l'ultima domanda rimando a
viewtopic.php?f=36&t=128227
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