Dubbi su limiti,utilizzo di o-piccolo e asintotico
Vi metto direttamente il limite in questione:
$lim_(x->0)((sqrt(1+(senx)^2)-e^(2x^2))/(1-cos4x))
$
Uso lo sviluppo di MacLaurin al 2° grado e mi viene:
$((1+1/2(senx)^2+o((senx)^3))-(1+2x^2+o(x^3)))/(8x^2+o(x^3))
$
dopodichè l'eserciziario sostituisce
$1/2(senx)^2
$
con $1/2x^2$ dicendo (giustamente) che è asintotico. Il limite poi è immediato (dato che anche o-piccolo si semplifica)
La cosa che non capisco è: io avevo capito che asintotico si poteva usare solo in presenza di un prodotto, in questo caso invece lo usa anche se c'è una somma, non ho ben capito quando posso usarlo tranquillamente e quando no, me lo spiegate? Grazie.
Intanto che scrivevo mi è venuta in mente un altra domanda, non ho capito perchè nello sviluppo di MacLaurin (per esempio) del seno, nonostante si debba sviluppare fino al 2 grado l'errore commesso è $o((x)^3)$
Stesso discorso per altri sviluppi, a volte il grado di o-piccolo è superiore a tutti gli altri (come per esempio nel limite precedente nello sviluppo di $-e^(2x^2)$
$lim_(x->0)((sqrt(1+(senx)^2)-e^(2x^2))/(1-cos4x))
$
Uso lo sviluppo di MacLaurin al 2° grado e mi viene:
$((1+1/2(senx)^2+o((senx)^3))-(1+2x^2+o(x^3)))/(8x^2+o(x^3))
$
dopodichè l'eserciziario sostituisce
$1/2(senx)^2
$
con $1/2x^2$ dicendo (giustamente) che è asintotico. Il limite poi è immediato (dato che anche o-piccolo si semplifica)
La cosa che non capisco è: io avevo capito che asintotico si poteva usare solo in presenza di un prodotto, in questo caso invece lo usa anche se c'è una somma, non ho ben capito quando posso usarlo tranquillamente e quando no, me lo spiegate? Grazie.
Intanto che scrivevo mi è venuta in mente un altra domanda, non ho capito perchè nello sviluppo di MacLaurin (per esempio) del seno, nonostante si debba sviluppare fino al 2 grado l'errore commesso è $o((x)^3)$
Stesso discorso per altri sviluppi, a volte il grado di o-piccolo è superiore a tutti gli altri (come per esempio nel limite precedente nello sviluppo di $-e^(2x^2)$
Risposte
"wolf90":
Intanto che scrivevo mi è venuta in mente un altra domanda, non ho capito perchè nello sviluppo di MacLaurin (per esempio) del seno, nonostante si debba sviluppare fino al 2 grado l'errore commesso è $o((x)^3)$
Stesso discorso per altri sviluppi, a volte il grado di o-piccolo è superiore a tutti gli altri (come per esempio nel limite precedente nello sviluppo di $-e^(2x^2)$
Attenzione. E' sbagliato.
Infatti lo sviluppo del second'ordine del seno è
$sin(x) = x + o(x^2)$
Ma, mancando il termine di secondo grado, puoi scrivere in maniera equivalente:
$sin(x) = x + o(x)$
Tuttavia NON puoi scrivere $sin(x) = x + o(x^3)$. Capisci perchè?
"wolf90":
La cosa che non capisco è: io avevo capito che asintotico si poteva usare solo in presenza di un prodotto, in questo caso invece lo usa anche se c'è una somma, non ho ben capito quando posso usarlo tranquillamente e quando no, me lo spiegate?
Diciamo che con delle somme bisogna stare attenti. Ad esempio:
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x^3 =lim_(x -> 0) (x + o(x) - x)/x^3 = lim_(x -> 0) (o(x))/x^3$
Quindi lo sviluppo del seno troncato al prim'ordine non è sufficiente a stabilire quanto vale il limite.
Tuttavia, sviluppando ancora un termine, hai: $sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$
E il limite è presto fatto.
Forse però intendevi questo:
$sqrt( 1 + y ) = 1 + y/2 - y^2/8 + o(y^2)$
$sqrt( 1 + y^2 ) = 1 + y^2/2 - y^4/8 + o(y^4)$
$sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (sin^2(x))/2 - (sin^4(x))/8 + o((sin^4(x)))$
(*) $sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 - (x^4)/8 + o(x^4)$
Se vuoi troncare lo sviluppo al 2° ordine, puoi scrivere:
(**) $sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 + o(x^2)$
Se guardi lo sviluppo di questa funzione (*), puoi constatare che manca il termine di terzo grado. Infatti, se $o(x^2)$ "contiene" tutti i termini infinitesimi di ordine superiore rispetto a $x^2$, e se il termine di terzo grado non c'è, allora il resto è anche $o(x^3)$. Quindi la (**) si può scrivere equivalentemente:
$sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 + o(x^3)$
$sqrt( 1 + y ) = 1 + y/2 - y^2/8 + o(y^2)$
$sqrt( 1 + y^2 ) = 1 + y^2/2 - y^4/8 + o(y^4)$
$sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (sin^2(x))/2 - (sin^4(x))/8 + o((sin^4(x)))$
(*) $sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 - (x^4)/8 + o(x^4)$
Se vuoi troncare lo sviluppo al 2° ordine, puoi scrivere:
(**) $sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 + o(x^2)$
Se guardi lo sviluppo di questa funzione (*), puoi constatare che manca il termine di terzo grado. Infatti, se $o(x^2)$ "contiene" tutti i termini infinitesimi di ordine superiore rispetto a $x^2$, e se il termine di terzo grado non c'è, allora il resto è anche $o(x^3)$. Quindi la (**) si può scrivere equivalentemente:
$sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 + o(x^3)$
"Seneca":
[quote="wolf90"]
Intanto che scrivevo mi è venuta in mente un altra domanda, non ho capito perchè nello sviluppo di MacLaurin (per esempio) del seno, nonostante si debba sviluppare fino al 2 grado l'errore commesso è $o((x)^3)$
Stesso discorso per altri sviluppi, a volte il grado di o-piccolo è superiore a tutti gli altri (come per esempio nel limite precedente nello sviluppo di $-e^(2x^2)$
Attenzione. E' sbagliato.
Infatti lo sviluppo del second'ordine del seno è
$sin(x) = x + o(x^2)$
Ma, mancando il termine di secondo grado, puoi scrivere in maniera equivalente:
$sin(x) = x + o(x)$
Tuttavia NON puoi scrivere $sin(x) = x + o(x^3)$. Capisci perchè?
"wolf90":
La cosa che non capisco è: io avevo capito che asintotico si poteva usare solo in presenza di un prodotto, in questo caso invece lo usa anche se c'è una somma, non ho ben capito quando posso usarlo tranquillamente e quando no, me lo spiegate?
Diciamo che con delle somme bisogna stare attenti. Ad esempio:
$lim_(x -> 0) (sin(x) - x)/x^3 =lim_(x -> 0) (x + o(x) - x)/x^3 = lim_(x -> 0) (o(x))/x^3$
Quindi lo sviluppo del seno troncato al prim'ordine non è sufficiente a stabilire quanto vale il limite.
Tuttavia, sviluppando ancora un termine, hai: $sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$
E il limite è presto fatto.[/quote]
Continuo a non capire la prima parte, allora perchè l'eserciziario come primo passaggio sviluppa la serie di $-e^(2x^2)$ fino al secondo grado, ma compare $o(x^3)$
Per il secondo pezzo invece tutto chiaro, insomma se devo "sviluppare" una somma la sostutisco con il suo asintotico + o-piccolo e risolvo qualsiasi problema
Dai un'occhiata al post successivo.
"Seneca":
Forse però intendevi questo:
$sqrt( 1 + y ) = 1 + y/2 - y^2/8 + o(y^2)$
$sqrt( 1 + y^2 ) = 1 + y^2/2 - y^4/8 + o(y^4)$
$sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (sin^2(x))/2 - (sin^4(x))/8 + o((sin^4(x)))$
(*) $sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 - (x^4)/8 + o(x^4)$
Se vuoi troncare lo sviluppo al 2° ordine, puoi scrivere:
(**) $sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 + o(x^2)$
Se guardi lo sviluppo di questa funzione (*), puoi constatare che manca il termine di terzo grado. Infatti, se $o(x^2)$ "contiene" tutti i termini infinitesimi di ordine superiore rispetto a $x^2$, e se il termine di terzo grado non c'è, allora il resto è anche $o(x^3)$. Quindi la (**) si può scrivere equivalentemente:
$sqrt( 1 + (sin(x))^2 ) = 1 + (x^2)/2 + o(x^3)$
Forse ho capito, in pratica è come se $o(x^3)$ contenesse tutti i termini di grado superiore al terzo, poi dato che il terzo grado non c'è in questo caso $o(x^2)=o(x^3)$
EDIT: però questo ragionamento ha senso nel caso di senx, dato che si sviluppano solo i termini dispari, ma per $e^x$ dovrebbe essere diverso.
Spero di non fare domande idiote, ma probvabilmente mi sfugge un passaggio
Precisamente.
Anche se non è proprio una uguaglianza quella lì. Infatti sarebbe più giusto scrivere:
$o(x^3) in o(x^2)$
Per indicare che tutte le funzioni che sono o-piccolo di $x^3$, sono anche o-piccolo di $x^2$; ma non viceversa.
Anche se non è proprio una uguaglianza quella lì. Infatti sarebbe più giusto scrivere:
$o(x^3) in o(x^2)$
Per indicare che tutte le funzioni che sono o-piccolo di $x^3$, sono anche o-piccolo di $x^2$; ma non viceversa.
Però rimane comunque il problema di $e^(2x^2)$...
;Un altra domanda,mi potresti spiegare come si sviluppa taylor per quanto riguarda $(1+t)^a$? Perché so calcolarlo come sommatoria del coefficiente binomiale di a ed n, ma in questo caso posso procedere fino ad un certo punto, finchè a>n dove n é il grado del polinomio...magari cerco un esercizio dove risulta piú chiaro ciò che sto scrivendo nel caso non riesca a capire
;Un altra domanda,mi potresti spiegare come si sviluppa taylor per quanto riguarda $(1+t)^a$? Perché so calcolarlo come sommatoria del coefficiente binomiale di a ed n, ma in questo caso posso procedere fino ad un certo punto, finchè a>n dove n é il grado del polinomio...magari cerco un esercizio dove risulta piú chiaro ciò che sto scrivendo nel caso non riesca a capire
"wolf90":
Però rimane comunque il problema di $e^(2x^2)$...
;Un altra domanda,mi potresti spiegare come si sviluppa taylor per quanto riguarda $(1+t)^a$? Perché so calcolarlo come sommatoria del coefficiente binomiale di a ed n, ma in questo caso posso procedere fino ad un certo punto, finchè a>n dove n é il grado del polinomio...magari cerco un esercizio dove risulta piú chiaro ciò che sto scrivendo nel caso non riesca a capire
Si... Forse è meglio se esemplifichi.
Per quanto riguarda $e^(2x^2)$ la cosa è analoga al caso di prima.
$e^y = 1 + y + y^2/2 + y^3/6 + o(y^3)$
$e^(2x^2) = 1 + 2x^2 + 4x^4/2 + 8y^6/6+ o(8y^6)$
$e^(2x^2) = 1 + 2x^2 + 2x^4 + 4y^6/3+ o(y^6)$
Vedi che mancano i termini di grado dispari?
Ora ho capito!in effetti tutto cambia perché c'è il termine x elevato al quadrato,di conseguenza non ci sono termini dispari,ripensandoci era una domanda un pò sciocca,ma l'importante è che ho capito. Rileggendo ciò che ho scritto inorridisco,il problema è che sto scrivendo dal telefonino,quindi è un pò problematica la cosa... Per farti un esempio comunque: senza calcolare tutte le derivate, qual'è la formula per sviluppare fino al grado n $(1+2x)^(1/3)$ ?
Perché io so solo ke $(1+t)^a = 1 + ax + (a(a-1)/2)x^2 + .... + (a n)x^n +o(x^n)$
Dove an è il coefficiente binomiale,non sapevo come scriverlo...
Perché io so solo ke $(1+t)^a = 1 + ax + (a(a-1)/2)x^2 + .... + (a n)x^n +o(x^n)$
Dove an è il coefficiente binomiale,non sapevo come scriverlo...
"wolf90":
Ora ho capito!in effetti tutto cambia perché c'è il termine x elevato al quadrato,di conseguenza non ci sono termini dispari,ripensandoci era una domanda un pò sciocca,ma l'importante è che ho capito. Rileggendo ciò che ho scritto inorridisco,il problema è che sto scrivendo dal telefonino,quindi è un pò problematica la cosa... Per farti un esempio comunque: senza calcolare tutte le derivate, qual'è la formula per sviluppare fino al grado n $(1+2x)^(1/3)$ ?
Perché io so solo ke $(1+t)^a = 1 + ax + (a(a-1)/2)x^2 + .... + (a n)x^n +o(x^n)$
Dove an è il coefficiente binomiale,non sapevo come scriverlo...
E non ti basta sapere quello? Basta che sai esprimere il coefficiente binomiale...
Nel frattempo ho trovato l'esercizio incriminato, devo scrivere lo sviluppo di MacLaurin di $(e^x+1)^3$ fino all'ordine 4,ma scrivendolo usando il coefficiente binomiale non posso,perché arrivo ad un punto in cui l'ordine n è magiore dell'esponente a,in questo caso 4>3. Spero di essermi spiegato questa volta 
grazie ancora!
EDIT: se non capisci ancora non fa niente, esercizi del genere posso risolverli anche in altri modi, per esempio calcolando le derivate.
grazie ancora!EDIT: se non capisci ancora non fa niente, esercizi del genere posso risolverli anche in altri modi, per esempio calcolando le derivate.
"wolf90":
Nel frattempo ho trovato l'esercizio incriminato, devo scrivere lo sviluppo di MacLaurin di $(e^x+1)^3$ fino all'ordine 4,ma scrivendolo usando il coefficiente binomiale non posso,perché arrivo ad un punto in cui l'ordine n è magiore dell'esponente a,in questo caso 4>3. Spero di essermi spiegato questa volta
Figurati. Dunque...
$(e^x+1)^3$
Io lo svolgerei così:
$(1 + y)^3 = 1 + 3y + 3y^2 + y^3$ (svolgi il cubo del binomio)
$(1 + y)^3 = 1 + 3y + 3y^2 + o(y^2)$
$y = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$
Sostituendo, ottieni lo sviluppo che volevi.
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