Dubbi su limiti
Buonasera, mi rivolgo ancora una volta a voi con la speranza che mi illuminiate anche oggi 
Il problema sta nella risoluzione di alcuni limiti. Pensavo di aver trovato una sicurezza nel confronto tra infiniti e infinitesimi, ma purtroppo così non è.
Quello che mi chiedo è: quando posso applicare il confronto tra infiniti e infinitesimi per risolvere un limite?
Vi faccio un esempio: $limx->2$ $(x^2-2x)/(x^3-8)$
Perché non posso applicare il confronto tra infinitesimi? La mia domanda non si rivolge solo a questo particolare limite, ma più in generale
Grazie in anticipo
Il problema sta nella risoluzione di alcuni limiti. Pensavo di aver trovato una sicurezza nel confronto tra infiniti e infinitesimi, ma purtroppo così non è.
Quello che mi chiedo è: quando posso applicare il confronto tra infiniti e infinitesimi per risolvere un limite?
Vi faccio un esempio: $limx->2$ $(x^2-2x)/(x^3-8)$
Perché non posso applicare il confronto tra infinitesimi? La mia domanda non si rivolge solo a questo particolare limite, ma più in generale
Grazie in anticipo
Risposte
Il confronto tra infinti e infinitesimi si può fare quando nel limite in questione si hanno infiniti o infinitesimi.
Una funzione $f(x)$ è un infinito per $x$ che tende ad $a$, con $a \in \overline{\mathbb{R}}$, se:
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$
Una funzione $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende ad $a$, con $a \in \overline{\mathbb{R}}$, se:
$\lim_{x \to a} f(x) = 0$
Dove con $\overline{\mathbb{R}}$ indico $\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty \} $.
Ad esempio nel limite
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+ln(x)+1/x}{x^3-x^2}$
al numeratore abbiamo due infiniti ($e^x$ e $ln(x)$) e un infinitesimo ($1/x$); l'infinitesimo va a $0$ e $e^x$ è l'infinito di ordine superiore.
Al denominatore abbiamo due infiniti ($x^3$ e $x^2$); $x^3$ è l'infinito di ordine superiore.
Dunque:
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+ln(x)+1/x}{x^3-x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3} = + \infty$
perché $e^x$ è di ordine superiore.
Nella funzione che hai postato tu non ci sono infiniti. La proprietà di essere infinito o meno di una funzione dipende inscindibilmente dal valore a cui sta tendendo la variabile indipendente, cioè per $x$ che tende a $0$, $1/x$ è un infinito ma non lo è per $x$ che tende a $7$; mentre $1/(x-7)$ è un infinito per $x$ che tende a $7$ ma non lo è per $x$ che tende a $0$.
Il tuo limite presenta una forma di indecisione del tipo $[0/0]$ derivante dal fatto che hai due polinomi che si annullano in $2$; conviene scomporli e semplificare! Prova e se hai problemi scrivi!
Una funzione $f(x)$ è un infinito per $x$ che tende ad $a$, con $a \in \overline{\mathbb{R}}$, se:
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$
Una funzione $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende ad $a$, con $a \in \overline{\mathbb{R}}$, se:
$\lim_{x \to a} f(x) = 0$
Dove con $\overline{\mathbb{R}}$ indico $\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty \} $.
Ad esempio nel limite
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+ln(x)+1/x}{x^3-x^2}$
al numeratore abbiamo due infiniti ($e^x$ e $ln(x)$) e un infinitesimo ($1/x$); l'infinitesimo va a $0$ e $e^x$ è l'infinito di ordine superiore.
Al denominatore abbiamo due infiniti ($x^3$ e $x^2$); $x^3$ è l'infinito di ordine superiore.
Dunque:
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+ln(x)+1/x}{x^3-x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3} = + \infty$
perché $e^x$ è di ordine superiore.
Nella funzione che hai postato tu non ci sono infiniti. La proprietà di essere infinito o meno di una funzione dipende inscindibilmente dal valore a cui sta tendendo la variabile indipendente, cioè per $x$ che tende a $0$, $1/x$ è un infinito ma non lo è per $x$ che tende a $7$; mentre $1/(x-7)$ è un infinito per $x$ che tende a $7$ ma non lo è per $x$ che tende a $0$.
Il tuo limite presenta una forma di indecisione del tipo $[0/0]$ derivante dal fatto che hai due polinomi che si annullano in $2$; conviene scomporli e semplificare! Prova e se hai problemi scrivi!
Però sia il numeratore che il denominatore sono funzioni infinitesime per $x->2$ ...
Ti ringrazio infinitamente, mi sei davvero di grande aiuto!
Volevo chiederti, nel caso in cui io abbia $lim->$-infinito $(e^x-x^2)/(x-1/x)$
In questo caso, ho $e^x$ e $1/x$ che sono infinitesimi, mentre $x^2$ e $x$ che sono infiniti
Per calcolare il limite, posso confrontare indifferentemente gli infiniti o gli infinitesimi? Nel primo caso mi verrebbe $(e^x)/(1/x)$ e quindi il limite vale $0^+$, nel caso degli infiniti $-x^2/x$ che vale -infinito
Dove sbaglio?
Volevo chiederti, nel caso in cui io abbia $lim->$-infinito $(e^x-x^2)/(x-1/x)$
In questo caso, ho $e^x$ e $1/x$ che sono infinitesimi, mentre $x^2$ e $x$ che sono infiniti
Per calcolare il limite, posso confrontare indifferentemente gli infiniti o gli infinitesimi? Nel primo caso mi verrebbe $(e^x)/(1/x)$ e quindi il limite vale $0^+$, nel caso degli infiniti $-x^2/x$ che vale -infinito
Dove sbaglio?
"axpgn":
Però sia il numeratore che il denominatore sono funzioni infinitesime per $ x->2 $ ...
Mmm... però da quello che ha detto Bremen in questo caso non è utilizzabile un confronto tra infinitesimi in quanto le funzioni che compongono numeratore e denominatore non sono infinitesime di per sé
Cosa significa "infinitesime di per sé" ? Non mi pare che la definizione di Bremen introduca qualcosa del genere, parla di una generica $f(x)$ e $x^2-2x$ lo è ... dov'è la differenza ?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Si sì mi ero focalizzato sugli infinti e sulla spiegazione teorica e, complice l'orario, mi sono perso il fatto che ovviamente nel limite postato sia numeratore che denominatore erano infinitesimi!
Per il nuovo limite che hai messo:
Peck, $e^x$ è un infinito! Al numeratore di quella frazione hai due infiniti e conta solo quello di ordine superiore ($e^x$). Al denominatore hai un infinito e un infinitesimo, conta l'infinito. È quindi come fare:
$\lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = + \infty$
Perché $e^x$ è di ordine superiore.
Nei casi come questo devi confrontare prima singolarmente la "roba" che c'è a numeratore, poi quella che c'è a denominatore. E poi fai il confronto tra i due.
Per il nuovo limite che hai messo:
Peck, $e^x$ è un infinito! Al numeratore di quella frazione hai due infiniti e conta solo quello di ordine superiore ($e^x$). Al denominatore hai un infinito e un infinitesimo, conta l'infinito. È quindi come fare:
$\lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = + \infty$
Perché $e^x$ è di ordine superiore.
Nei casi come questo devi confrontare prima singolarmente la "roba" che c'è a numeratore, poi quella che c'è a denominatore. E poi fai il confronto tra i due.
"Bremen000":
Si sì mi ero focalizzato sugli infinti e sulla spiegazione teorica e, complice l'orario, mi sono perso il fatto che ovviamente nel limite postato sia numeratore che denominatore erano infinitesimi!
Per il nuovo limite che hai messo:
Peck, $ e^x $ è un infinito! Al numeratore di quella frazione hai due infiniti e conta solo quello di ordine superiore ($ e^x $). Al denominatore hai un infinito e un infinitesimo, conta l'infinito. È quindi come fare:
$ \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = + \infty $
Perché $ e^x $ è di ordine superiore.
Nei casi come questo devi confrontare prima singolarmente la "roba" che c'è a numeratore, poi quella che c'è a denominatore. E poi fai il confronto tra i due.
Si scusami anche io ho dato i numeri per l'orario, ma quindi, tornando al limite iniziale, è sempre comunque sbagliato risolverlo come confronto di infinitesimi? In quanto da quello che ho capito, e probabilmente ho capito male, ho solo due polinomi che si azzerano, ma le "singole funzioni" (passatemi il termine) che li compongono non sono infinitesimi, dunque non confrontabili
Allora, l'espressione "singole funzioni non sono infinitesime" non si può passare perché non ha proprio senso.
Nel limite in questione ci sono degli infinitesimi, a numeratore c'è (x-2) e al denominatore pure (se scomponi). Esso è un infinitesimo del primo ordine (se ci ostiniamo a ragionare per infinitesimi), a numeratore e a denominatore. Ergo il limite tende ad un numero finito, che è quello del rapporto tra ciò a cui tendono i coefficienti degli infinitesimi a numeratore e a denominatore. Scomposta:
$\lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \lim_{x \to 2} \frac{2(x-2)}{12(x-2)} = 1/6$
Che è un ragionamento contorto per un caso così semplice. Raccogli e semplifica!
Nel limite in questione ci sono degli infinitesimi, a numeratore c'è (x-2) e al denominatore pure (se scomponi). Esso è un infinitesimo del primo ordine (se ci ostiniamo a ragionare per infinitesimi), a numeratore e a denominatore. Ergo il limite tende ad un numero finito, che è quello del rapporto tra ciò a cui tendono i coefficienti degli infinitesimi a numeratore e a denominatore. Scomposta:
$\lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \lim_{x \to 2} \frac{2(x-2)}{12(x-2)} = 1/6$
Che è un ragionamento contorto per un caso così semplice. Raccogli e semplifica!
Grazie mille, ora mi è molto più chiaro!
@Bremen
Certamente la via "normale" è quella di scomporre, semplicemente il mio intervento mirava a "smontare" l'idea di "funzioni infinitesime di per sé" che peck mi sembrava si fosse messo in testa ... e non mi pareva un qualcosa di corretto ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Certamente la via "normale" è quella di scomporre, semplicemente il mio intervento mirava a "smontare" l'idea di "funzioni infinitesime di per sé" che peck mi sembrava si fosse messo in testa ... e non mi pareva un qualcosa di corretto ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
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