Dubbi su limiti

[eeee13401]

Salve ragazzi in questi giorni mi sto esercitando un sacco sui limiti per un esame a breve e ho trovato difficoltà nello svolgimento di alcuni di essi:
in questo primo limite ho avuto difficoltà siccome i logaritmi avevano basi diverse:


il risultato di quest'altro limite dovrebbe essere 0 lo fece in aula la prof ma un passaggio non l'ho capito:


ed infine su questo limite non ho saputo metterci mani:


grazie in anticipo

[Frink1]

Per quanto riguarda il secondo, molto semplicemente:
$ lim_(x -> 1/2) sin(2x-1)/sqrt(2x-1) $ lo puoi trasformare, ricordando che $ sin(2x-1)~ (2x-1) $ in $ lim_(x -> 1/2) (2x-1)/sqrt(2x-1)=lim_(x -> 1/2)(sqrt(2x-1))^2/sqrt(2x-1)=lim_(x -> 1/2)sqrt(2x-1)=0 $

[Zero87]

Nell'ultimo è l'esercizio stesso che ti invita a porre $t=x-1$ (da cui $x=t+1$) - c'è la parentesi sotto radice che è un chiaro segno di questa volontà
$lim_(t->0) \frac{e^(t+1)-e}{\sqrt(1-t)-1}= lim_(t->0) \frac{e(e^t-1)}{\sqrt(1-t)-1}$.

Se provi a razionalizzare moltiplicando e dividendo per $\sqrt(1-t)+1$... otterrai qualche gradito limite notevole.

[M13131]

Uhm, però... attento Frink, io penso che $sin (2x - 1)$ sia localmente equivalente a $2x - 1$ soltanto in un intorno dello $0$ e non in un intorno di un mezzo, che è invece il valore al quale tende la variabile nel limite. Dunque bisognerebbe prendere un'altra strada per risolvere il limite, quale ad esempio effettuare la sostituzione $2x - 1 = y$, che implica che il limite diviene:

$lim_(y->0) \frac{sin y}{sqrt(y)}$, che diventa, moltiplicando e dividendo per $sqrt(y)$:

$lim_(y->0) \frac{sin y}{sqrt(y)}*\frac{sqrt(y)}{sqrt(y)} = lim_(y->0) \frac{(sin y)*sqrt(y)}{y} = lim_(y->0) \frac{sin y}{y}*sqrt(y)$.

E da qui è semplicissimo procedere.

Spero di non aver sbagliato nulla nelle mie considerazioni... è un fatto di forma: entrambi giungiamo allo stesso risultato, ma avevo questo tarlo all'orecchio dopo aver visto la risoluzone proposta.

[Frink1]

Hai fatto la stessa cosa che ho fatto io. Non importa a cosa tende la $ x $, l'importante è che l'argomento del seno tenda a $ 0 $. Se così è allora il seno è asintotico al suo argomento, cosa che hai usato anche tu. Sostituire aiuta se ne hai bisogno visivamente, ma è un passaggio in più...