Dubbi su limite di funzione non continua in un punto.

[turtle87crociato]

Devo calcolare il limite:

$ \lim_{x \to 3^-}(x-3)^2 - 9$, con $f(x) = (x-3)^2 - 9$ avente dominio $(- \infty; 3)$.

Se la funzione non è continua in $x = 3$ (poichè è ivi non definita), cosa mi autorizza a calcolarlo "sostituendo" il valore $3$ nell'espressione $(x-3)^2 - 9$ ?

[gugo82]

La funzione assegnata è la restrizione di una funzione continuissima, quindi non hai problemi di sorta.

[turtle87crociato]

C'è un teorema specifico che in maniera rigorosa mi autorizza a fare ciò? O è solo un ragionamento legato al concetto intuitivo di funzione continua?
(Non so se mi sia espresso bene o meno nel fare quest'ultima domanda )

[gugo82]

Beh, non è difficile provare (usando la definizione di limite) che:

Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto, \(Y\subseteq X\), \(\phi :X\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\) un p.d.a. per \(X\).

Se:

[list=i] [*:2fk74d4w] \(x_0\) è un p.d.a. per \(Y\),

[/*:m:2fk74d4w]
[*:2fk74d4w] \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} \phi (x)\) esiste,[/*:m:2fk74d4w][/list:o:2fk74d4w]

allora la restrizione di \(\phi\) ad \(Y\), cioé la funzione \(\phi_{|_Y}: Y\ni x\mapsto \phi(x)\in \mathbb{R}\), è dotata di limite in \(x_0\) e risulta:
\[
\lim_{x\to x_0} \phi_{|_Y} (x) = \lim_{x\to x_0} \phi (x)\; .
\]

Nel tuo caso, il teorema si applica: infatti, il tuo caso rientra tra quelli previsti dal teorema con \(\phi(x):= (x-3)^2-9\), \(X=\mathbb{R}\), \(x_0=3\), \(Y=]-\infty ,3[\) ed, evidentemente, \(\phi_{|_Y} = f\).