Dubbi su Integrali Impropri
Gentile comunità, a due giorni dall'esame di Analisi 1 mi trovo ancora con tanti dubbi su tanti argomenti, e uno degli argomenti che più mi dà da pensare è quello sugli integrali impropri e vorrei provare a trovare qualche conferma attraverso degli esercizi che mi danno del filo da torciere
1)$\int_{1}^{+infty} (sen^5(1/x))/(log(x^2+1)-2log(x)) dx$
2)$\int_{0}^{2} (root(3)(x))/((2+4x^5)(arctan(sqrt(x^3)))) dx$
3)$\int_{1}^{+infty} (e^(x^2))/(1+e^(2x^2)) dx$
Di ognuna dovrei discuterne la convergenza attraverso l'uso di uno dei criteri studiati. Ora al primo esercizio già iniziano i dubbi: su un esercizio svolto a lezione di tutoraggio qust'integrale improprio $\int_{1}^{+infty} sen(1/x) dx$ viene studiato attraverso il confronto asintotico prendendo come punto di riferimento il limite notevole ben noto. Il problema però è che il limite vale per x-->0 e non per infinito. La mia domanda è, sono io che dormivo quel giorno ed ho copiato male o è veramente fattibile? Se lo è il primo integrale l'ho risolto confrontando $sen^5(1/x)~(1/x)^5$, al denominatore ho semplifcato fino ad ottenere $log(1+(1/x^2))$ e considerando il limite notevole l'ho confrontata con $1/x^2$. A questo punto l'integrale diventa $\int_{1}^{+infty} 1/x^3 dx$ che è un p-integrale e converge poichè p>1. Per quanto riguarda il secondo e terzo integrale ho il buoi completo. Al secondo integrale avevo provato a trasformare l'arctangente con la formula di Taylor sperando di arrivare a qualcosa ma niente e quindi non so in che modo posso confrontare l'arctangente. Al terzo integrale la cosa non cambia molto perchè avevo provato ad usare il criterio di convergenza considerando che $e^(x^2)>x^2$ ma non ho idea di come andare avanti...In effetti il mio problema è come stabilire quali criteri usare, come essere sicuro che le funzioni che uso nel confronto siano realmente valide. In attesa di eventuali risposte continuo a tentare. Ringrazio in anticipo
1)$\int_{1}^{+infty} (sen^5(1/x))/(log(x^2+1)-2log(x)) dx$
2)$\int_{0}^{2} (root(3)(x))/((2+4x^5)(arctan(sqrt(x^3)))) dx$
3)$\int_{1}^{+infty} (e^(x^2))/(1+e^(2x^2)) dx$
Di ognuna dovrei discuterne la convergenza attraverso l'uso di uno dei criteri studiati. Ora al primo esercizio già iniziano i dubbi: su un esercizio svolto a lezione di tutoraggio qust'integrale improprio $\int_{1}^{+infty} sen(1/x) dx$ viene studiato attraverso il confronto asintotico prendendo come punto di riferimento il limite notevole ben noto. Il problema però è che il limite vale per x-->0 e non per infinito. La mia domanda è, sono io che dormivo quel giorno ed ho copiato male o è veramente fattibile? Se lo è il primo integrale l'ho risolto confrontando $sen^5(1/x)~(1/x)^5$, al denominatore ho semplifcato fino ad ottenere $log(1+(1/x^2))$ e considerando il limite notevole l'ho confrontata con $1/x^2$. A questo punto l'integrale diventa $\int_{1}^{+infty} 1/x^3 dx$ che è un p-integrale e converge poichè p>1. Per quanto riguarda il secondo e terzo integrale ho il buoi completo. Al secondo integrale avevo provato a trasformare l'arctangente con la formula di Taylor sperando di arrivare a qualcosa ma niente e quindi non so in che modo posso confrontare l'arctangente. Al terzo integrale la cosa non cambia molto perchè avevo provato ad usare il criterio di convergenza considerando che $e^(x^2)>x^2$ ma non ho idea di come andare avanti...In effetti il mio problema è come stabilire quali criteri usare, come essere sicuro che le funzioni che uso nel confronto siano realmente valide. In attesa di eventuali risposte continuo a tentare. Ringrazio in anticipo
Risposte
Per il terzo integrale l'unico punto da studiare è $+oo$.
Quando $x rarr +oo $ la funzione integranda è asintotica a $ e^(x^2)/(e^(2x^2)) = 1/(e^(x^2)) $ e quindi è infinitesima di ordine superiore a $1/x^n$ per qualunque valore di$ n$ .
Pertanto l'integrale converge.
Quando $x rarr +oo $ la funzione integranda è asintotica a $ e^(x^2)/(e^(2x^2)) = 1/(e^(x^2)) $ e quindi è infinitesima di ordine superiore a $1/x^n$ per qualunque valore di$ n$ .
Pertanto l'integrale converge.
Per il secondo integrale l'unico punto da studiare è $x=0 $ .
Se $x rarr 0 $ la funzione integranda è asintotica a $ x^(1/3)/(2 x^(3/2))= k/(x^(7/6)) $ e quindi l'integrale diverge in quanto l'esponente di $ x $ a denominatore è $> 1 $.
Se $x rarr 0 $ la funzione integranda è asintotica a $ x^(1/3)/(2 x^(3/2))= k/(x^(7/6)) $ e quindi l'integrale diverge in quanto l'esponente di $ x $ a denominatore è $> 1 $.
"Camillo":
Per il terzo integrale l'unico punto da studiare è $+oo$.
Quando $x rarr +oo $ la funzione integranda è asintotica a $ e^(x^2)/(e^(2x^2)) = 1/(e^(x^2)) $ e quindi è infinitesima di ordine superiore a $1/x^n$ per qualunque valore di$ n$ .
Pertanto l'integrale converge.
"Camillo":
Per il secondo integrale l'unico punto da studiare è .
Se la funzione integranda è asintotica a e quindi l'integrale diverge .
Per convergere l'esponente di a denominatore dovrebbe essere
al secondo l'arctangente come l'hai risolta? A cosa è aintoticamente equivalente? ad $x^(3/2)$? Poi questo sistema di studiare le convergenze non è più da adattare allo studio di serie? Teoricamente non dovrei cercare di arrivare alla forma p-integrale?
Se $ x rarr 0 $ allora $arctg x $ è asintotico a $x $ e quindi nel caso $arctg x^(3/2)$ è asintotico a $x^(3/2)$.
Trovo molto potente il metodo della approssimazione asintotica anche se non è certo l'unico.
Trovo molto potente il metodo della approssimazione asintotica anche se non è certo l'unico.
Ricorda che $arctan(\sqrt(x^3))~~\sqrt(x^3)$ per $x->0$.
E in merito ai miei dubbi sul primo integrale? Il fatto che a $+infty$ mi sono trovato comunque con il confronto asintotico usando limiti notevoli per $x->0$ è utilizzabile o no? Come l'ho risolto io va bene?
"Matteo126782":
E in merito ai miei dubbi sul primo integrale? Il fatto che a $+infty$ mi sono trovato comunque con il confronto asintotico usando limiti notevoli per $x->0$ è utilizzabile o no? Come l'ho risolto io va bene?
provo a risponderti io dicendo che quel limite notevole vale quando l'argomento tende a zero..se fosse stato x allora doveva tendere a zero..in questo caso invece con 1/x vale per x che tende a infinito..attendi conferme
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