Dubbi su Integrali di superficie e integrale triplo
Buongiorno gente,
1) mi viene data la superficie E = {(x,y,z)R3:y2+z2=1,x2+z2≤1} e mi si chiede di trovare una parametrizzazione e di calcolare l'area.
Sono in R^3 quindi il primo parliamo di 2 cilindri giusto( ma perchè ho = e nell'altro <= ??). Come parametrizzarla?
2) superficie data da {(y,z)R2:y3=z2,1≤z≤8} . Mi viene detto di calcolare l'integrale di superficie su E dato da f(x,y,z) = 1/ (x2+y2)12 dS
Anche in questo caso non riesco a capire la parametrizzazione.
3) Poi mi viene detto di calcolare l'integrale triplo di $ f(x,y,z) = |z| $ sul dominio dato da E= $ { (x,y,z) in R^3 : x^2+y^2 <= 2x , x^2+y^2+z^2 <=4 } $
Allora io l'ho risolto in questo modo : in pratica il dominio è dato dall'intersezione tra il cilindro con centro (1,0) e la sfera di raggio 2 e centro origine giusto? Lo integro per fili quindi $ int_()^()int_()^() dxdy (int_(0)^((4-x^2-y^2)^(1/2)) z dz $ dove in pratica il modulo vuol dire che stiamo analizzando la semisfera giusto?
Poi risolvo l'integrale doppio in coordinate polari con $ 0<=r<= 2cosvartheta $ e $ 0<=vartheta <=pi /2 $ . Giusto?
Grazie a tutti
p.s esiste un sito che riesce a darti il risultato di un integrale doppio o triplo? La nostra mitica prof ci riempie di esercizi ma non ci da mai il risultato
1) mi viene data la superficie E = {(x,y,z)R3:y2+z2=1,x2+z2≤1} e mi si chiede di trovare una parametrizzazione e di calcolare l'area.
Sono in R^3 quindi il primo parliamo di 2 cilindri giusto( ma perchè ho = e nell'altro <= ??). Come parametrizzarla?
2) superficie data da {(y,z)R2:y3=z2,1≤z≤8} . Mi viene detto di calcolare l'integrale di superficie su E dato da f(x,y,z) = 1/ (x2+y2)12 dS
Anche in questo caso non riesco a capire la parametrizzazione.
3) Poi mi viene detto di calcolare l'integrale triplo di $ f(x,y,z) = |z| $ sul dominio dato da E= $ { (x,y,z) in R^3 : x^2+y^2 <= 2x , x^2+y^2+z^2 <=4 } $
Allora io l'ho risolto in questo modo : in pratica il dominio è dato dall'intersezione tra il cilindro con centro (1,0) e la sfera di raggio 2 e centro origine giusto? Lo integro per fili quindi $ int_()^()int_()^() dxdy (int_(0)^((4-x^2-y^2)^(1/2)) z dz $ dove in pratica il modulo vuol dire che stiamo analizzando la semisfera giusto?
Poi risolvo l'integrale doppio in coordinate polari con $ 0<=r<= 2cosvartheta $ e $ 0<=vartheta <=pi /2 $ . Giusto?
Grazie a tutti
p.s esiste un sito che riesce a darti il risultato di un integrale doppio o triplo? La nostra mitica prof ci riempie di esercizi ma non ci da mai il risultato
Risposte
Nessuno?
1) scrivo meglio:
$$E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ y^2+z^2=1,\ x^2+z^2\le 1\}$$
Per prima cosa capiamo cosa sono i due pezzi: $y^2+z^2=1$ è la superficie del cilindro circolare retto che ha asse centrale coincidente con l'asse delle $x$. D'altro canto $x^2+z^2\le 1$ è "tutto" il cilindro circolare retto con asse centrale coincidente con l'asse delle $y$ e, pertanto, è un solido. Poiché vuoi che $E$ sia una superficie, deve essere necessariamente così, altrimenti se fossero due superfici e le intersecassi, otterresti una curva.
Per parametrizzare usiamo le coordinate cilindriche seguenti:
$$x=u\cos v,\quad z=u\sin v$$
attraverso le quali il secondo cilindro viene riscritto come $u^2\le 1$ o, considerando che $u\ge 0$ per definizione, $0\le u\le 1$. Sostituendo nella prima si ha invece
$$y^2+u^2\sin^2 v=1\ \Rightarrow\ y=\pm\sqrt{1-u^2\sin^2 v}$$
da cui puoi intuire che la tua superficie si parametrizza come la coppia di superfici
$$E_{\pm}=(u\cos v,\pm\sqrt{1-u^2\sin^2 v},u\sin v),\qquad u\in[0,1],\ v\in[0,2\pi)$$
dal momento che $y$ impone la scelta di una "calotta superiore" e di una inferiore. Se ragioni sulle simmetrie dei cilindri, ti renderai conto tuttavia che $S(E_+)=S(E_-)$, cioè le due parti hanno la stessa misura di superficie, e quindi $S(E)=2 S(E_+)$, il che ci permette di concentrarci solo sulla calotta superiore. A questo punto il calcolo della superficie non dovrebbe essere difficoltoso.
2) Anche in questo caso riscrivo: abbiamo
$$E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ y^3=z^2,\ z\in[1,8]\}$$
e bisogna calcolare
$$\int_E\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\ d\sigma$$
Osserva che fissato $x=c$ costante, la superficie $E$ si ottiene come unione di tutte le curve sui piani $x=c$ di equazione $y^3=z^2$. Pertanto, vista l'indipendenza di $x$ dalle altre coordinate, e la dipendenza diretta tra $y$ e $z$ e il fatto che $z\in[1,8]$ e quindi $z>0$, possiamo scrivere $y=(z^2)^{1/3}$ e porre per la parametrizzazione
$$x=u,\quad z=t,\quad y=t^{2/3},\qquad u\in\mathbb{R},\ t\in[1,8]$$
3) Qi commetti un errore dovuto alla considerazione che fai sul valore assoluto. Ricorda che per definizione
$$|a|=\left\{\begin{array}{lcl}
a & & a\ge 0\\
-a & & a<0
\end{array}\right.$$
Cosaimplica questo?Indichiamo con $E_\pm=S_\pm\cap C$, cioè le due parti, positiva e negativa rispetto all'asse$z$, del dominio $E$, dovute all'intersezione tra le due calotte sferiche (positiva e negativa) e il cilindro. Ora, è ovvio che $|z|=\pm z$ a seconda che $z\in E_{\pm}$ e pertanto l'integrale diventa
$$\int_E |z|\ dV=\int_{E_+}|z|\ dV+\int_{E_-}|z|\ dV=\int_{E_+}z\ dV+\int_{E_-}-z\ dV$$
Osserva ora che se nel secondo impongo la trasformazione $z=-t$, per questioni di simmetria $E_-\to -E_+$ (in effetti le due parti sono congruenti, solo speculari, rispetto al piano $xOy$ l'una dell'altra) e inoltre se $dV'$ è il nuovo elemento di volume, avendo cambiato il segno di una singola variabile, si avrà $dV'=-dV$. Ma allora
$$\int_E|z|=\int_{E_+}z\ dV+\int_{-E_+} t\ -dV=\int_{E_+}z\ dV+\int_{E_+} t\ dV=2\int_{E_+}z\ dV$$
dove, la presenza dei due meno nel secondo membro, mi permette di "eliderli" nel passaggio al terzo membro e, osservando che la presenza di $z$ o $t$ non cambia il senso di quell'integrale (parliamo di variabili "mute") posso considerare uguali i due integrali e sommarli nel quarto membro.
$$E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ y^2+z^2=1,\ x^2+z^2\le 1\}$$
Per prima cosa capiamo cosa sono i due pezzi: $y^2+z^2=1$ è la superficie del cilindro circolare retto che ha asse centrale coincidente con l'asse delle $x$. D'altro canto $x^2+z^2\le 1$ è "tutto" il cilindro circolare retto con asse centrale coincidente con l'asse delle $y$ e, pertanto, è un solido. Poiché vuoi che $E$ sia una superficie, deve essere necessariamente così, altrimenti se fossero due superfici e le intersecassi, otterresti una curva.
Per parametrizzare usiamo le coordinate cilindriche seguenti:
$$x=u\cos v,\quad z=u\sin v$$
attraverso le quali il secondo cilindro viene riscritto come $u^2\le 1$ o, considerando che $u\ge 0$ per definizione, $0\le u\le 1$. Sostituendo nella prima si ha invece
$$y^2+u^2\sin^2 v=1\ \Rightarrow\ y=\pm\sqrt{1-u^2\sin^2 v}$$
da cui puoi intuire che la tua superficie si parametrizza come la coppia di superfici
$$E_{\pm}=(u\cos v,\pm\sqrt{1-u^2\sin^2 v},u\sin v),\qquad u\in[0,1],\ v\in[0,2\pi)$$
dal momento che $y$ impone la scelta di una "calotta superiore" e di una inferiore. Se ragioni sulle simmetrie dei cilindri, ti renderai conto tuttavia che $S(E_+)=S(E_-)$, cioè le due parti hanno la stessa misura di superficie, e quindi $S(E)=2 S(E_+)$, il che ci permette di concentrarci solo sulla calotta superiore. A questo punto il calcolo della superficie non dovrebbe essere difficoltoso.
2) Anche in questo caso riscrivo: abbiamo
$$E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ y^3=z^2,\ z\in[1,8]\}$$
e bisogna calcolare
$$\int_E\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\ d\sigma$$
Osserva che fissato $x=c$ costante, la superficie $E$ si ottiene come unione di tutte le curve sui piani $x=c$ di equazione $y^3=z^2$. Pertanto, vista l'indipendenza di $x$ dalle altre coordinate, e la dipendenza diretta tra $y$ e $z$ e il fatto che $z\in[1,8]$ e quindi $z>0$, possiamo scrivere $y=(z^2)^{1/3}$ e porre per la parametrizzazione
$$x=u,\quad z=t,\quad y=t^{2/3},\qquad u\in\mathbb{R},\ t\in[1,8]$$
3) Qi commetti un errore dovuto alla considerazione che fai sul valore assoluto. Ricorda che per definizione
$$|a|=\left\{\begin{array}{lcl}
a & & a\ge 0\\
-a & & a<0
\end{array}\right.$$
Cosaimplica questo?Indichiamo con $E_\pm=S_\pm\cap C$, cioè le due parti, positiva e negativa rispetto all'asse$z$, del dominio $E$, dovute all'intersezione tra le due calotte sferiche (positiva e negativa) e il cilindro. Ora, è ovvio che $|z|=\pm z$ a seconda che $z\in E_{\pm}$ e pertanto l'integrale diventa
$$\int_E |z|\ dV=\int_{E_+}|z|\ dV+\int_{E_-}|z|\ dV=\int_{E_+}z\ dV+\int_{E_-}-z\ dV$$
Osserva ora che se nel secondo impongo la trasformazione $z=-t$, per questioni di simmetria $E_-\to -E_+$ (in effetti le due parti sono congruenti, solo speculari, rispetto al piano $xOy$ l'una dell'altra) e inoltre se $dV'$ è il nuovo elemento di volume, avendo cambiato il segno di una singola variabile, si avrà $dV'=-dV$. Ma allora
$$\int_E|z|=\int_{E_+}z\ dV+\int_{-E_+} t\ -dV=\int_{E_+}z\ dV+\int_{E_+} t\ dV=2\int_{E_+}z\ dV$$
dove, la presenza dei due meno nel secondo membro, mi permette di "eliderli" nel passaggio al terzo membro e, osservando che la presenza di $z$ o $t$ non cambia il senso di quell'integrale (parliamo di variabili "mute") posso considerare uguali i due integrali e sommarli nel quarto membro.
Ancora una volta perfettamente chiaro, se passo l'esame lo devo a te!
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