Dubbi su funzioni regolari e limiti.

[Plinio78]

Dire che una funzione è regolare in un punto equivale a dire che ammette limite in quel punto? In caso di risposta negativa sapreste dirmi che differenza c'è? In caso di risposta affermativa allora vorrebbe dire che i punti di discontinuità di prima e seconda specie sono punti in cui non esiste limite, giusto?


Grazie in anticipo.

[Antimius]

"Regolare" è un termine abbastanza generico che varia a seconda del contesto. Vuol dire che hai un qualche tipo di regolarità sulla funzione, che si evince dal contesto o è data per scontata. Esempi di regolarità (in ordine "crescente") sono:
- Continuità
- Continuità uniforme
- Lipschitzianità
- Differenziabilità
- $C^1$
...
- $C^{\infty}$
- Analiticità
Ovviamente, in tutti questi casi, la funzione ammette limite nei punti di regolarità.
In genere, quando non viene specificato, in analisi, si sottitende che sia $C^1$.

Per rispondere meglio alla tua situazione però, ti chiedo: dove hai trovato questo termine?

[Plinio78]

"Antimius":"Regolare" è un termine abbastanza generico che varia a seconda del contesto. Vuol dire che hai un qualche tipo di regolarità sulla funzione, che si evince dal contesto o è data per scontata. Esempi di regolarità (in ordine "crescente") sono:
- Continuità
- Continuità uniforme
- Lipschitzianità
- Differenziabilità
- $C^1$
...
- $C^{\infty}$
- Analiticità
Ovviamente, in tutti questi casi, la funzione ammette limite nei punti di regolarità.
In genere, quando non viene specificato, in analisi, si sottitende che sia $C^1$.

Per rispondere meglio alla tua situazione però, ti chiedo: dove hai trovato questo termine?

Ho trovato questo termine su una dispensa di analisi 1, subito dopo le varie definizioni di limite. C'è scritto che quando si parla di convergenza e divergenza (sia positiva che negativa) si tratta sempre di funzioni regolari. Dopo poco c'è scritto che quando una funzione non è regolare in un punto allora essa viene detta oscillante. Leggo anche "una funzione è regolare in un punto se e solo se i limiti sinistro e destro in quel punto sono uguali"

[Antimius]

Come vedi è un termine che dipende fortemente dal contesto. Da quello che hai scritto, ne evinco che il testo intende semplicemente l'esistenza del limite nel punto (eventualmente anche infinito). Quindi funzioni continue, con discontinuità eliminabili o con discontinuità di seconda specie in cui i limiti destro e sinistro esistano (infiniti) e siano uguali (ad esempio $\frac{1}{|x|}$ in $0$) sono regolari.
Funzioni con discontinuità di prima specie o di seconda specie, nei casi in cui uno tra limite destro e sinistro non esista ($\sin \frac{1}{x}$ in $0$) o esistano entrambi (infiniti) ma diversi ($\frac{1}{x}$ in $0$) non sono regolari.
C'è da dire che, però, il termine "oscillante" probabilmente fa rifermento a situazioni del tipo $\sin \frac{1}{x}$ in cui almeno uno dei due limiti destro e sinistro non esiste (nemmeno infinito).

[Plinio78]

"Antimius":Come vedi è un termine che dipende fortemente dal contesto. Da quello che hai scritto, ne evinco che il testo intende semplicemente l'esistenza del limite nel punto (eventualmente anche infinito). Quindi funzioni continue, con discontinuità eliminabili o con discontinuità di seconda specie in cui i limiti destro e sinistro esistano (infiniti) e siano uguali (ad esempio $\frac{1}{|x|}$ in $0$) sono regolari.
Funzioni con discontinuità di prima specie o di seconda specie, nei casi in cui uno tra limite destro e sinistro non esista ($\sin \frac{1}{x}$ in $0$) o esistano entrambi (infiniti) ma diversi ($\frac{1}{x}$ in $0$) non sono regolari.
C'è da dire che, però, il termine "oscillante" probabilmente fa rifermento a situazioni del tipo $\sin \frac{1}{x}$ in cui almeno uno dei due limiti destro e sinistro non esiste (nemmeno infinito).

Chiarissimo, grazie mille!

[Antimius]

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