Dubbi su funzione a due variabili
Un saluto alla sezione. Io e dei miei amici dobbiamo dare l'esame di analisi matematica I e ci stiamo preparando assieme. Abbiamo un poco di problemi (forse) sul concetto di differenziabilità. In particolare vorrei proporre questo esercizio, svolto oggi stesso, e porlo a vostro giudizio (giusto per sapere cosa sbagliamo e cosa può essere definito meglio).
Data la funzione:
$f(x,y)= arctg(|x|)*ln(1+x^2 -y^2)/(x^2+y^2)$
a) Disegnare l'insieme di definizione.
Le condizioni per la sua esistenza sono:
${\(1+x^2-y^2 > 0),(x^2 + y^2 !=0):} -> {\(1+x^2>y^2),( (x;y)!=(0;0) ):} -> {\(-sqrt(1+x^2)
Che è sicuramente una cosa del tipo:
Uploaded with ImageShack.us
b)Determinare se f è prolungabile per continuità nell'origine.
bisogna verificare se $EE \lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)$
Per fare questo analizziamo il limite ponendo alcune restrizioni:
$x=0 - > f(0,y) = 0 -> \lim_{y \to \0}f(0,y)= 0$
$y=0 - > f(x,0) = 0 -> \lim_{x \to \0}f(x,0)= 0$
$y=x - > f(x,x) = arctgx*ln(1+x^2-x^2)/(2x^2) = 0 -> \lim_{x \to \0}f(x,0)= 0$
Congetturiamo che $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)= 0$
Per esserne certi passiamo alle coordinate polari per verificare se questo avviene per ogni direzione (al variare di $theta$)
Definiamo $f(rho,theta)=f(rhocostheta,rhosintheta)=arctg(rhosintheta)*ln(1-rho^2sintheta + rho^2costheta)/(rho^2cos^2theta + rho^2sin^2theta)=arctg(rhosintheta)*ln(1-rho^2sintheta + rho^2costheta)/(rho^2)$ raccogliendo infatti $rho^2$ al denominatore possiamo applicare dalla trigonometria $sin^2theta + cos^2theta = 1$
Maggioriamo $|arctg(rhosintheta)*ln(1-rho^2sintheta + rho^2costheta)/(rho^2)|<=|arctg(rho)*ln(1-rho^2 + rho^2)/(rho^2)|$ possiamo applicare il limite notevole $ \lim_{rho \to \0}(arctg(rho))/rho =1$
ottenendo quindi $|ln(1) / rho| = 0 $ per cui $\lim_{rho \to \0}f(rhocostheta,rhosintheta) = 0$ indipendentemente da theta, la funzione così definita può essere così prolungata per continuità.
c) Determinare se la funzione così prolungata ammette derivate parziali nell'origine (qui giunge il problema).
Definiamo quindi una nuova funzione in tale modo:
$g(x,y)={\(f(x;y) -> (x;y) in domf(x;y) ),(0 -> (x;y)=(0;0)):}$
Noi abbiamo agito facendo questo ragionamento: dal momento che comunque dobbiamo verificare l'esistenza delle derivate parziali nell'origine, se verifichiamo che la funzione è differenziabile attraverso l'uso della condizione sufficiente ma non necessaria ossia che $g(x,y) in C^(1)(domg) ->$ g differenziabile, allora verificheremo di conseguenza la loro esistenza nell'origine. Abbiamo allora calcolato $g_x$ e $g_y$ e ne abbiamo eseguito i limiti per studiarne la loro continuità.
$g_x(x,y) = {\(arctg|y|*(2x*(x^2+y^2)/(1+x^2-y^2)-2x*ln(1+x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2 -> domf(x;y)) ,(0-> (x;y)=(0;0)):}$
A questo punto ne abbiamo fatto i limiti per verificare che coincidessero fra loro:
$x=0 - > f_x(0,y) = 0 -> \lim_{y \to \0}f_x(0,y)= 0$
$y=0 - > f_x(x,0) = 0 -> \lim_{x \to \0}f_x(x,0)= 0$
$x=y ->\lim_{x \to \0}f_x(x,x) = \lim_{x \to \0}f(x,0)arctg|x|*((4x^3)/(1+x^2-x^2) -2x*ln1)/(4x^4)=arctg|x|*4x^3/(4x^4)$ applichiamo il limite notevole e semplifichiamo. Scopriamo che $\lim_{x \to \0}f_x(x,x)= 1$ e arriviamo alla conclusione che non esiste il limite in quanto differente dagli altri (cosa con cui sono d'accordo, l'unica cosa su cui sono dubbioso è che che ogni limite deve venire = 0, e anche se tutti fossero venuti =1 il limite non sarebbe esistito in quanto è necessario che venga =0 perché la nostra derivata parziale in (0;0) di $g_x$ vale 0 (?) )
Continuiamo, analizzando questa volta $g_y$
$g_y(x,y) = {\({[ln(1+x^2-y^2)/(1+y^2) +(2y)*arctg|y|/(1+x^2-y^2)]*(x^2+y^2)-arctg|y|*ln(1+x^2-y^2)*2y}/(x^2+y^2) -> domf(x;y)) ,(0-> (x;y)=(0;0)):}$
Senza stare a dilungarmi troppo, anche qui viene fuori che per alcune restrizioni i limiti non coincidono. Arriviamo alla conclusione che $f_y$ non ammette limite nell'origine e lo stesso vale per $f_x$. Inoltre non essendo continue le due derivate parziali di f in (0;0) non possiamo utilizzare la condizione necessaria e sufficiente. Proviamo allora ad usare la definizione di differenziabilità e abbiamo cercato di verificare che $g(x,y)=g(x_0,y_0) + g_x(x_0,y_0)*(x-x_0) + g_y(x_0,y_0)*(y-y_0)$ cosa che non è verificata perché viene che $g(x,y) = 0$ in quanto per quanto concluso da noi la nostra funzione così proseguita per continuità vale 0 in (0;0) (fin qui ok) e valgono 0 anche le loro derivate parziali in quanto le derivate parziali di g(0,0) = 0 valgono 0 in quanto derivata di una costante (??).Arrivano a concludere che la funzione non è differenziabile in (0,0) e che le derivate parziali in (0,0) esistono e valgono 0 mentre non esistono in un intorno di (0,0).
Io non per fare il guasta feste, ma sono sicuro che abbiamo totalmente ceffato il punto c, nonostante i vari libri di teoria comprati per capire la definizione di differenziabilità. Se per favore qualcuno è in grado aiutarmi gliene sarei veramente troppo grato. Vi ringrazio per il tempo dedicatomi. Per comodità metto in grassetto e sottolineato tutto ciò che penso abbiamo sbagliato.
Data la funzione:
$f(x,y)= arctg(|x|)*ln(1+x^2 -y^2)/(x^2+y^2)$
a) Disegnare l'insieme di definizione.
Le condizioni per la sua esistenza sono:
${\(1+x^2-y^2 > 0),(x^2 + y^2 !=0):} -> {\(1+x^2>y^2),( (x;y)!=(0;0) ):} -> {\(-sqrt(1+x^2)
Che è sicuramente una cosa del tipo:
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b)Determinare se f è prolungabile per continuità nell'origine.
bisogna verificare se $EE \lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)$
Per fare questo analizziamo il limite ponendo alcune restrizioni:
$x=0 - > f(0,y) = 0 -> \lim_{y \to \0}f(0,y)= 0$
$y=0 - > f(x,0) = 0 -> \lim_{x \to \0}f(x,0)= 0$
$y=x - > f(x,x) = arctgx*ln(1+x^2-x^2)/(2x^2) = 0 -> \lim_{x \to \0}f(x,0)= 0$
Congetturiamo che $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)= 0$
Per esserne certi passiamo alle coordinate polari per verificare se questo avviene per ogni direzione (al variare di $theta$)
Definiamo $f(rho,theta)=f(rhocostheta,rhosintheta)=arctg(rhosintheta)*ln(1-rho^2sintheta + rho^2costheta)/(rho^2cos^2theta + rho^2sin^2theta)=arctg(rhosintheta)*ln(1-rho^2sintheta + rho^2costheta)/(rho^2)$ raccogliendo infatti $rho^2$ al denominatore possiamo applicare dalla trigonometria $sin^2theta + cos^2theta = 1$
Maggioriamo $|arctg(rhosintheta)*ln(1-rho^2sintheta + rho^2costheta)/(rho^2)|<=|arctg(rho)*ln(1-rho^2 + rho^2)/(rho^2)|$ possiamo applicare il limite notevole $ \lim_{rho \to \0}(arctg(rho))/rho =1$
ottenendo quindi $|ln(1) / rho| = 0 $ per cui $\lim_{rho \to \0}f(rhocostheta,rhosintheta) = 0$ indipendentemente da theta, la funzione così definita può essere così prolungata per continuità.
c) Determinare se la funzione così prolungata ammette derivate parziali nell'origine (qui giunge il problema).
Definiamo quindi una nuova funzione in tale modo:
$g(x,y)={\(f(x;y) -> (x;y) in domf(x;y) ),(0 -> (x;y)=(0;0)):}$
Noi abbiamo agito facendo questo ragionamento: dal momento che comunque dobbiamo verificare l'esistenza delle derivate parziali nell'origine, se verifichiamo che la funzione è differenziabile attraverso l'uso della condizione sufficiente ma non necessaria ossia che $g(x,y) in C^(1)(domg) ->$ g differenziabile, allora verificheremo di conseguenza la loro esistenza nell'origine. Abbiamo allora calcolato $g_x$ e $g_y$ e ne abbiamo eseguito i limiti per studiarne la loro continuità.
$g_x(x,y) = {\(arctg|y|*(2x*(x^2+y^2)/(1+x^2-y^2)-2x*ln(1+x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2 -> domf(x;y)) ,(0-> (x;y)=(0;0)):}$
A questo punto ne abbiamo fatto i limiti per verificare che coincidessero fra loro:
$x=0 - > f_x(0,y) = 0 -> \lim_{y \to \0}f_x(0,y)= 0$
$y=0 - > f_x(x,0) = 0 -> \lim_{x \to \0}f_x(x,0)= 0$
$x=y ->\lim_{x \to \0}f_x(x,x) = \lim_{x \to \0}f(x,0)arctg|x|*((4x^3)/(1+x^2-x^2) -2x*ln1)/(4x^4)=arctg|x|*4x^3/(4x^4)$ applichiamo il limite notevole e semplifichiamo. Scopriamo che $\lim_{x \to \0}f_x(x,x)= 1$ e arriviamo alla conclusione che non esiste il limite in quanto differente dagli altri (cosa con cui sono d'accordo, l'unica cosa su cui sono dubbioso è che che ogni limite deve venire = 0, e anche se tutti fossero venuti =1 il limite non sarebbe esistito in quanto è necessario che venga =0 perché la nostra derivata parziale in (0;0) di $g_x$ vale 0 (?) )
Continuiamo, analizzando questa volta $g_y$
$g_y(x,y) = {\({[ln(1+x^2-y^2)/(1+y^2) +(2y)*arctg|y|/(1+x^2-y^2)]*(x^2+y^2)-arctg|y|*ln(1+x^2-y^2)*2y}/(x^2+y^2) -> domf(x;y)) ,(0-> (x;y)=(0;0)):}$
Senza stare a dilungarmi troppo, anche qui viene fuori che per alcune restrizioni i limiti non coincidono. Arriviamo alla conclusione che $f_y$ non ammette limite nell'origine e lo stesso vale per $f_x$. Inoltre non essendo continue le due derivate parziali di f in (0;0) non possiamo utilizzare la condizione necessaria e sufficiente. Proviamo allora ad usare la definizione di differenziabilità e abbiamo cercato di verificare che $g(x,y)=g(x_0,y_0) + g_x(x_0,y_0)*(x-x_0) + g_y(x_0,y_0)*(y-y_0)$ cosa che non è verificata perché viene che $g(x,y) = 0$ in quanto per quanto concluso da noi la nostra funzione così proseguita per continuità vale 0 in (0;0) (fin qui ok) e valgono 0 anche le loro derivate parziali in quanto le derivate parziali di g(0,0) = 0 valgono 0 in quanto derivata di una costante (??).Arrivano a concludere che la funzione non è differenziabile in (0,0) e che le derivate parziali in (0,0) esistono e valgono 0 mentre non esistono in un intorno di (0,0).
Io non per fare il guasta feste, ma sono sicuro che abbiamo totalmente ceffato il punto c, nonostante i vari libri di teoria comprati per capire la definizione di differenziabilità. Se per favore qualcuno è in grado aiutarmi gliene sarei veramente troppo grato. Vi ringrazio per il tempo dedicatomi. Per comodità metto in grassetto e sottolineato tutto ciò che penso abbiamo sbagliato.
Risposte
Il punto b non l'ho capito, questa funzione non ha nessun bisogno di essere definita nell'origine, ed è ovvio che sia continua.
Comunque nelle maggiorazioni che avete fatto c'è qualcosa che non torna, ma ripeto non c'era bisogno di stare a girarci intorno così tanto.
Per quanto riguarda il punto c di cose giuste ne vedo veramente poche, quella funzione non è differenziabile in nessun punto dell'asse $y$ che sta nel dominio, tranne l'origine, in cui lo è. E se non ci vedo male la condizione sufficiente di cui parli non è rispettata.
Il consiglio che ti do è quello di cercare sempre di applicare prima la definizione, cercando di prestare maggiore attenzione a quei punti in cui si annullano argomenti di moduli o radici.
Comunque nelle maggiorazioni che avete fatto c'è qualcosa che non torna, ma ripeto non c'era bisogno di stare a girarci intorno così tanto.
Per quanto riguarda il punto c di cose giuste ne vedo veramente poche, quella funzione non è differenziabile in nessun punto dell'asse $y$ che sta nel dominio, tranne l'origine, in cui lo è. E se non ci vedo male la condizione sufficiente di cui parli non è rispettata.
Il consiglio che ti do è quello di cercare sempre di applicare prima la definizione, cercando di prestare maggiore attenzione a quei punti in cui si annullano argomenti di moduli o radici.
ci sono degli errori nella $g_x$
"Giuly19":
Il punto b non l'ho capito, questa funzione non ha nessun bisogno di essere definita nell'origine, ed è ovvio che sia continua.
Comunque nelle maggiorazioni che avete fatto c'è qualcosa che non torna, ma ripeto non c'era bisogno di stare a girarci intorno così tanto.
Per quanto riguarda il punto c di cose giuste ne vedo veramente poche, quella funzione non è differenziabile in nessun punto dell'asse $y$ che sta nel dominio, tranne l'origine, in cui lo è. E se non ci vedo male la condizione sufficiente di cui parli non è rispettata.
Il consiglio che ti do è quello di cercare sempre di applicare prima la definizione, cercando di prestare maggiore attenzione a quei punti in cui si annullano argomenti di moduli o radici.
Qui mi scuso io per il fatto che mancava il denominatore nella funzione! Me ne ero scordato un pezzo, comunque ora l'ho aggiunto! La funzione è $f(x,y)= arctg(|x|)*ln(1+x^2 -y^2)/(x^2+y^2)$ e nella fretta ho dimenticato di scrivere qualcosa
"Headcrab":
[quote="Giuly19"]Il punto b non l'ho capito, questa funzione non ha nessun bisogno di essere definita nell'origine, ed è ovvio che sia continua.
Comunque nelle maggiorazioni che avete fatto c'è qualcosa che non torna, ma ripeto non c'era bisogno di stare a girarci intorno così tanto.
Per quanto riguarda il punto c di cose giuste ne vedo veramente poche, quella funzione non è differenziabile in nessun punto dell'asse $y$ che sta nel dominio, tranne l'origine, in cui lo è. E se non ci vedo male la condizione sufficiente di cui parli non è rispettata.
Il consiglio che ti do è quello di cercare sempre di applicare prima la definizione, cercando di prestare maggiore attenzione a quei punti in cui si annullano argomenti di moduli o radici.
Qui mi scuso io per il fatto che mancava il denominatore nella funzione! Me ne ero scordato un pezzo, comunque ora l'ho aggiunto! La funzione è $f(x,y)= arctg(|x|)*ln(1+x^2 -y^2)/(x^2+y^2)$ e nella fretta ho dimenticato di scrivere qualcosa[/quote]
Cavolo !
Allora non me lo ero sognato che era senza denominatore.
La prima volta che l'ho guardata non aveva denominatore $x^2+y^2$, poi devo aver ricaricato la pagina e me lo sono ritrovato.
Beh allora quello che ho detto non so se è vero, devo controllare.
Sui primi due punti sono quasi abbastanza sicuro, il problema è forse solo il punto c. Soprattutto le incongruenze nelle parti in grassetto!
La funzione non è differenziabile nell'origine, infatti dalla definizione:
$lim_( (x,y)->(0,0) ) [f(x,y) - (f_x(0,0),f_y(0,0))*(x,y)]/||(x,y)||= lim_( (x,y)->(0,0) ) artg|x|log(1+x^2-y^2)/((x^2+y^2)sqrt(x^2+y^2)) = $
$= lim_( (x,y)->(0,0) ) |x|(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^(3/2)$ (ho usato due sviluppi di Taylor).
L'ultima limite che ho scritto non esiste, infatti se chiamo $g(x,y)= |x|(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^(3/2)$, si ha $g(0,y)=0$ e $g(x,0)=1$.
Il ragionamento che stavate seguendo voi fa capire quanto non abbiate capito cosa vuol dire che una funzione è differenziabile in un punto. Infatti voi dovete verificare che $f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(||(x-x_0,y-y_0)||)$, avete semplicemente dimenticato l'o piccolo. In questo caso è vero che $f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$, ma cosa resta? Dovete controllare se è vero che $f(x,y)=o(sqrt(x^2+y^2))$, cioè..
$lim_( (x,y)->(0,0) ) [f(x,y) - (f_x(0,0),f_y(0,0))*(x,y)]/||(x,y)||= lim_( (x,y)->(0,0) ) artg|x|log(1+x^2-y^2)/((x^2+y^2)sqrt(x^2+y^2)) = $
$= lim_( (x,y)->(0,0) ) |x|(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^(3/2)$ (ho usato due sviluppi di Taylor).
L'ultima limite che ho scritto non esiste, infatti se chiamo $g(x,y)= |x|(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^(3/2)$, si ha $g(0,y)=0$ e $g(x,0)=1$.
Il ragionamento che stavate seguendo voi fa capire quanto non abbiate capito cosa vuol dire che una funzione è differenziabile in un punto. Infatti voi dovete verificare che $f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(||(x-x_0,y-y_0)||)$, avete semplicemente dimenticato l'o piccolo. In questo caso è vero che $f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$, ma cosa resta? Dovete controllare se è vero che $f(x,y)=o(sqrt(x^2+y^2))$, cioè..
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