Dubbi su esercizi vari
Ciao ragazzi, ho dato lo scritto di analisi 2 e avrei bisogno di avere una conferma sullo svolgimento dei primi due esercizi che scriverò, e di chiarire alcuni dubbi sul terzo esercizio:
1) Calcolare $int_(\gamma) \omega$ dove $\omega(x,y)=yx^(y-1)dx+x^ylogxdy$, $ x>0 $, $ \gamma=gamma_1+gamma_2$ con $ \gamma_1(t)=(t,0), t in [1/sqrt(2),1], \gamma_2(t)=(cost,sent), t in [0,pi/4]$.
$\omega$ è una forma differenziale chiusa in $RR^2$, che è stellato, quindi per il teorema di Poincaré $\omega$ è esatta.
Un suo possibile potenziale è $F(x,y)=x^y$.
Visto che $\gamma_1(1)=(1,0)=\gamma_2(0)$ e che $\omega$ è esatta possiamo dire che: $int_(\gamma) \omega=F(\gamma_2(pi/4))-F(\gamma_1(1/sqrt2))=(1/sqrt2)^(1/sqrt2)-1$.
2) Calcolare la misura di $A= {(x,y,z) inRR^3 t.c x^2/2+y^2/3+z^2<=1, x^2/2+y^2/3<=1/2}$.
Trovo il punto in cui l'ellissoide interseca il cilindro mettendo a sistema queste due equazioni:
$x^2/2+y^2/3+z^2=1$
$x^2/2+y^2/3=1/2$
$z=\pm1/sqrt2$
Pongo $x=\rhocos\theta$ e $y=sqrt(3/2)\rhosin\theta$. Allora avrò che $0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi$
Possiamo applicare il teorema di Tonelli e separare i tre integrali:
$int_(-1/sqrt2)^(1/sqrt2)dz$$*$$int_(0)^(1)sqrt(3/2)\rhodrho*int_(0)^(2pi)d\theta$$=2sqrt(3)pi$.
3) Siano $A= { (x,y)inRR^3 t.c x^2+y^2<=1, |y|<=x } $ e $f:A->RR, f(x,y)=x^2+xy+y^2$. Determinare $f(A)$.
$A$ è compatto e connesso quindi $f(A)=[minf,maxf]$.
$f$ è definita positiva e $f(0,0)=0$ quindi $minf=0$.
Cerco poi i punti critici nell'interno di $A$:
$(df)/dx=2x +y$ $(df)/dy=2y+x$. Non ci sono punti critici diversi da $(0,0)$ nell'interno di $A$. Forse è una domanda stupida ma (0,0) non si trova nella frontiera di $A$?
Vado a cercare poi i punti critici nella frontiera di $A$:
Poniamo: $Fr(A)=A_1UA_2$ dove $A_1= {(x,y)in A $$t.c $ $ x^2+y^2=1} $ e $ A_2= {(x,y)in A $$t.c$ $ |y|=x } $ E' così che va divisa la frontiera?
$A_1$ è una 1-varietà quindi possiamo applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange:
Poniamo $F(x,y)=x^2+xy+y^2- \lambda(x^2+y^2-1)$.
$nablaF(x,y)=(2x+y-2\lambdax,2y+x-2\lambday)$. I punti in cui il gradiente di F si annulla sono: $(\pm1/sqrt2,\pm1/sqrt2), (\pm1/sqrt2, \mp1/sqrt2)$.
In $A_2$ la funzione diventa:
$f(x,x)=3x^2$ se $ y>0$
$f(x, -x)=x^2 $ se $ y<0$
In entrambi i casi la derivata di f si annulla solo in$(0,0)$.
Quindi ottengo $f(A)=[0,3/2]$. Va bene questo procedimento?
Grazie mille per il vostro prezioso aiuto!
1) Calcolare $int_(\gamma) \omega$ dove $\omega(x,y)=yx^(y-1)dx+x^ylogxdy$, $ x>0 $, $ \gamma=gamma_1+gamma_2$ con $ \gamma_1(t)=(t,0), t in [1/sqrt(2),1], \gamma_2(t)=(cost,sent), t in [0,pi/4]$.
$\omega$ è una forma differenziale chiusa in $RR^2$, che è stellato, quindi per il teorema di Poincaré $\omega$ è esatta.
Un suo possibile potenziale è $F(x,y)=x^y$.
Visto che $\gamma_1(1)=(1,0)=\gamma_2(0)$ e che $\omega$ è esatta possiamo dire che: $int_(\gamma) \omega=F(\gamma_2(pi/4))-F(\gamma_1(1/sqrt2))=(1/sqrt2)^(1/sqrt2)-1$.
2) Calcolare la misura di $A= {(x,y,z) inRR^3 t.c x^2/2+y^2/3+z^2<=1, x^2/2+y^2/3<=1/2}$.
Trovo il punto in cui l'ellissoide interseca il cilindro mettendo a sistema queste due equazioni:
$x^2/2+y^2/3+z^2=1$
$x^2/2+y^2/3=1/2$
$z=\pm1/sqrt2$
Pongo $x=\rhocos\theta$ e $y=sqrt(3/2)\rhosin\theta$. Allora avrò che $0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi$
Possiamo applicare il teorema di Tonelli e separare i tre integrali:
$int_(-1/sqrt2)^(1/sqrt2)dz$$*$$int_(0)^(1)sqrt(3/2)\rhodrho*int_(0)^(2pi)d\theta$$=2sqrt(3)pi$.
3) Siano $A= { (x,y)inRR^3 t.c x^2+y^2<=1, |y|<=x } $ e $f:A->RR, f(x,y)=x^2+xy+y^2$. Determinare $f(A)$.
$A$ è compatto e connesso quindi $f(A)=[minf,maxf]$.
$f$ è definita positiva e $f(0,0)=0$ quindi $minf=0$.
Cerco poi i punti critici nell'interno di $A$:
$(df)/dx=2x +y$ $(df)/dy=2y+x$. Non ci sono punti critici diversi da $(0,0)$ nell'interno di $A$. Forse è una domanda stupida ma (0,0) non si trova nella frontiera di $A$?
Vado a cercare poi i punti critici nella frontiera di $A$:
Poniamo: $Fr(A)=A_1UA_2$ dove $A_1= {(x,y)in A $$t.c $ $ x^2+y^2=1} $ e $ A_2= {(x,y)in A $$t.c$ $ |y|=x } $ E' così che va divisa la frontiera?
$A_1$ è una 1-varietà quindi possiamo applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange:
Poniamo $F(x,y)=x^2+xy+y^2- \lambda(x^2+y^2-1)$.
$nablaF(x,y)=(2x+y-2\lambdax,2y+x-2\lambday)$. I punti in cui il gradiente di F si annulla sono: $(\pm1/sqrt2,\pm1/sqrt2), (\pm1/sqrt2, \mp1/sqrt2)$.
In $A_2$ la funzione diventa:
$f(x,x)=3x^2$ se $ y>0$
$f(x, -x)=x^2 $ se $ y<0$
In entrambi i casi la derivata di f si annulla solo in$(0,0)$.
Quindi ottengo $f(A)=[0,3/2]$. Va bene questo procedimento?
Grazie mille per il vostro prezioso aiuto!
Risposte
1)
Direi che va bene
2)
La misura del volume non mi sembra corretta perche: a) "z" varia, non è fissa, nel tuo integrale è fissa a $1/(sqrt2)$ b) idem per il raggio $\rho$, che nel tuo integrale è fisso, invece è funzione di $\theta$ perchè è il raggio di una ellisse.
3)
I max e i min vanno bene.
Direi che va bene
2)
La misura del volume non mi sembra corretta perche: a) "z" varia, non è fissa, nel tuo integrale è fissa a $1/(sqrt2)$ b) idem per il raggio $\rho$, che nel tuo integrale è fisso, invece è funzione di $\theta$ perchè è il raggio di una ellisse.
3)
I max e i min vanno bene.
ah ok forse ho capito, ho provato a rifarlo:
Per prima cosa essendo la figura simmetrica rispetto al piano xy posso calcolare solo la parte di volume positiva e poi moltiplicarla per 2. Poi finchè $0<=z<=1/sqrt2$ integro rispetto al cilindro, mentre quando $1/sqrt2<=z<=1$ integro rispetto all'ellissoide.
Quindi l'integrale diventa: $2*(int_(0)^(1/sqrt2)int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)sqrt(3/2)\rhodrhod\thetadz)$ $+$ $2*(int_(0)^(2pi)int_(1/sqrt2)^(1)int_(0)^(1-z^2)sqrt(3/2)\rhod\rhodzd\theta)$
Può andare?
Per prima cosa essendo la figura simmetrica rispetto al piano xy posso calcolare solo la parte di volume positiva e poi moltiplicarla per 2. Poi finchè $0<=z<=1/sqrt2$ integro rispetto al cilindro, mentre quando $1/sqrt2<=z<=1$ integro rispetto all'ellissoide.
Quindi l'integrale diventa: $2*(int_(0)^(1/sqrt2)int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)sqrt(3/2)\rhodrhod\thetadz)$ $+$ $2*(int_(0)^(2pi)int_(1/sqrt2)^(1)int_(0)^(1-z^2)sqrt(3/2)\rhod\rhodzd\theta)$
Può andare?
Continui a sbagliare: con le posizioni che hai fatto le equazioni che definiscono il dominio risultano
$\rho^2\le 1,\qquad \rho^2+z^2\le 1$
per cui $\theta\in[0,2\pi]$, mentre $0\le\rho\le 1$ e $z^2\le 1-\rho^2$ da cui $-\sqrt{1-\rho^2}\le z\le \sqrt{1-\rho^2}$
$\rho^2\le 1,\qquad \rho^2+z^2\le 1$
per cui $\theta\in[0,2\pi]$, mentre $0\le\rho\le 1$ e $z^2\le 1-\rho^2$ da cui $-\sqrt{1-\rho^2}\le z\le \sqrt{1-\rho^2}$
ah ok ho un bel po' di confusione in testa su come fare questi esercizi.. quindi l'integrale diventa: $int_(0)^(2pi)int_(0)^(1)$$int_(-sqrt(1-\rho^2))^(sqrt(1-\rho^2))$$sqrt(3/2)\rhodzd\rhod\theta$ ?
Sì.
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