Dubbi su esercizi di analisi 2

[bimbozza]

1) Determinare f(A), dove

[math]\ f(x,y)=x^2+y^2-xy [/math]

ed A è il quadrato chiuso di vertici (0,0) (1,0) (0,1) (1,1). Ho capito che devo cercare massimi e minimi della funzione all'interno del quadrato (e mi riesce) ma poi alla fine che devo fare? che cos'è f(A)?

2)Dato il cono circolare retto

[math]\ x^2+y^2=z^2 [/math]

con z compresa tra 0 e 2, calcola il flusso del campo

[math]\ V=(2x-2y^2,y-x^2z^2,z^2-xy) [/math]

uscente dalla superficie laterale. Nel calcolo dell'integrale triplo di 3+2z (divergenza di V)è giusto procedere integrando tra 0 e 2 lungo z e sostituendo 2 integrali con l'area di base

[math]\pi z^2[/math]

?

3)Data la superficie S, unione della superficie S1=

[math]\ x^2+y^2=1 [/math]

con z compresa tra 0 e 1 e S2=

[math]\ x^2+y^2=(z+1)^2 [/math]

con z compresa tra -1 e 0 e

[math]\ V=(zy,yz+x^2,z^3+xy) [/math]

calcolare il flusso uscente dalla sup. lat. di S. ... calcolo l'integrale della divergenza del cilindro e la sommo a quella del cono, ma poi, oltre al flusso dalla base del cilindro su z=1, devo togliere anche quello della base in comune su z=0? e se sì, essendo interno alla superficie, che verso prendo per la normale?

Grazie mille a chiunque vorrà aiutarmi!

Aggiunto 9 ore 34 minuti più tardi:

non era ciò che avevo chiesto... forse ho posto male la mia domanda, pardon... ci riprovo:

1) dopo aver cercato i massimi e i minimi della funzione nel quadrato (ed anche sul bordo) cosa devo fare? per esempio, nel sopracitato esercizio trovo che ho un minimo in f(0,0)=0 e un massimo in f(1,1)=f(0,1)=f(1,0)=1. In questo caso, qual'è f(A)?

2)ho capito che devo sottrarre il flusso uscente dalla base da quello totale, ma la mia domanda era: nel calcolo del flusso uscente dalla superficie totale, è giusto scrivere questo:

[math]\iiint 3+3z,dxdydz= \int (3+3z)(\pi z^2),dz= [/math]

?

[ciampax]

1) Con

[math]f(A)[/math]

si indica l'immagine di un insieme tramite la funzione. Per determinarla devi, ovviamente, comprendere quali siano i massimi e minimi della funzione sull'insieme A stesso.Oltre a calcolarli all'interno, però, dovrai anche vedere cosa succede sul bordo del quadrato (estremi vincolati). Sai come fare?

2) Il flusso viene richiesto solo lungo la superficie laterale, per cui per applicare il teorema della divergenza dovrai procedere così: indichiamo con S la superficie laterale, con B la base del cono (ce n'è solo una!) e con W il suo volume. Allora

[math]\int\int\int_W \mathrm{div}V\ dx\ dy\ dz=\int\int_S V\cdot n\ d\sigma+\int\int_B V\cdot n\ d\sigma[/math]

e pertanto

[math]\int\int_S V\cdot n\ d\sigma=\int\int\int_W \mathrm{div} V\ dx\ dy\ dz-\int\int_B V\cdot n\ d\sigma[/math]

Ne segue che oltre a calcolare l'integrale della divergenza, dovrai calcolare l'integrale doppio su B. Osserva che esso è molto semplice: infatti B è il cerchio

[math]x^2+y^2\leq 4[/math]

che si trova all'altezza

[math]z=2[/math]

. Per esso il versore normale coincide con il versore k dell'asse z.

Ragiona un po' come ho fatto al punto 2

Aggiunto 23 ore 40 minuti più tardi:

Ah, scusa, io pensavo ti riferissi a quali termini addizionare e sottrarre. ovvio che puoi fare quello che dici, visto che stai integrando dentro un cilindro e la funzione integranda dipende solo dalla

[math]z[/math]

.

per la domanda 1) se hai determinato che

[math]\max_A f=1,\ \min_A f=0[/math]

allora stai dicendo che

[math]0\leq f(x,y)\leq 1[/math]

per ogni

[math](x,y)\in A[/math]

. ne segue che

[math]f(A)=[0,1][/math]

(intervallo).

[magox]

Penso di aver capito la domanda inerente al quesito 2.In definitiva il flusso totale è:

[math]\Phi=\displaystyle \int\int\int_D (3+2z)dxdydz[/math]

Dove D è il dominio definito da:

[math]\displaystyle\begin{cases}0\le z \le 2\\-z\le x \le +z\\-\sqrt{z^2-x^2}\le y \le +\sqrt{z^2-x^2}\end{cases}[/math]

Facendo i calcoli ( non difficili ) si trova che il flusso è:

[math]\displaystyle \Phi=16\pi[/math]

Ora dal momento che la divergenza dipende solo da z,e qui vengo alle perplessità di bimbozza,si può anche scrivere il flusso così:

[math]\displaystyle \Phi=\int_0^2(2z+3)dz\int\int_{D'}dxdy[/math]

dove D' è il dominio definito da :

[math]\displaystyle\begin{cases} -z\le x \le z\\-\sqrt{z^2-x^2}\le y \le +\sqrt{z^2-x^2}\end{cases}[/math]

D'altra parte l'integrale doppio esteso a D' è proprio l'area del cerchio di raggio z e quindi avremo:

[math]\displaystyle \Phi=\int_0^2(2z+3)\cdot \pi z^2dz=\pi\int_0^2(2z^3+3z^2)dz=16\pi[/math]