Dubbi su due serie (praticamente svolte)
Analisi II si avvicina, ed eccomi di nuovo sul forum 
Come dice il titolo, credo di essere riuscito a verificare la convergenza o la divergenza, solo volevo essere sicuro che i passaggi fatti siano giusti e non campati in aria
La prima serie è questa:
$\sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n^n)$
Applico il criterio del rapporto:
$((n+1)!)/((n+1)^(n+1))*(n^n)/(n!) = ((n+1)*n!)/((n+1)^(n)*(n+1))*(n^n)/(n!)$
Semplificando ottengo:
$n^n/(n+1)^n$ Applico il criterio della radice: $n/(n+1) \sim n/n=1$
Avendo ottenuto un valore finito, posso dire che la serie converge? E per caso il valore a cui converge è proprio $1$?
Ecco la seconda serie:
$\sum_{n=1}^(+oo) (n^(1/n))/(n!)$
Posso scriverlo come:
$(e^((log(n))/n))/(n!)$
Poichè per $n->+oo$ l'argomento dell'esponenziale è 0, posso concludere che il tutto è asintotico a $1/(n!)$ ?
E di conseguenza la serie converge giusto?
Sono domande banali e di cui probabilmente conosco la risposta, ma vorrei esserne sicuro!
Grazie.
Come dice il titolo, credo di essere riuscito a verificare la convergenza o la divergenza, solo volevo essere sicuro che i passaggi fatti siano giusti e non campati in aria
La prima serie è questa:
$\sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n^n)$
Applico il criterio del rapporto:
$((n+1)!)/((n+1)^(n+1))*(n^n)/(n!) = ((n+1)*n!)/((n+1)^(n)*(n+1))*(n^n)/(n!)$
Semplificando ottengo:
$n^n/(n+1)^n$ Applico il criterio della radice: $n/(n+1) \sim n/n=1$
Avendo ottenuto un valore finito, posso dire che la serie converge? E per caso il valore a cui converge è proprio $1$?
Ecco la seconda serie:
$\sum_{n=1}^(+oo) (n^(1/n))/(n!)$
Posso scriverlo come:
$(e^((log(n))/n))/(n!)$
Poichè per $n->+oo$ l'argomento dell'esponenziale è 0, posso concludere che il tutto è asintotico a $1/(n!)$ ?
E di conseguenza la serie converge giusto?
Sono domande banali e di cui probabilmente conosco la risposta, ma vorrei esserne sicuro!
Grazie.
Risposte
1. Ma controllare prima la condizione necessaria, no? 
2. Ok.
2. Ok.
La condizione necessaria dovrebbe essere soddisfatta no?
$\sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n^n)$
(mi ero dimencato di scrivere l'esponente al denominatore sorry)
$\sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n^n)$
(mi ero dimencato di scrivere l'esponente al denominatore sorry)
"wolf90":
La prima serie è questa:
$\sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n^n)$
Applico il criterio del rapporto:
...
Applico il criterio della radice:
...
Mmm.. ma si possono usare due criteri contemporaneamente? Io non ne ho mai visti fatti così...
E poi comunque col criterio della radice arriveresti a 1, quindi non hai alcuna risposta...
Ho provato con rapporto, radice, raabe ma niente... infinitesimi e condensazione non mi sembrano proprio appropriati, poi non so... Mi ricordo di averne fatto uno simile, aspè vediamo che trovo...
Se non ricordo male l'uso di più criteri contemporaneamente l'ho visto in qualche esercizio svolto sia sul libro che dalla prof nelle sue dispense. Anzi ne sono sicuro ora che ci penso bene.
Effettivamente una risposta molto rozza la potrebbe dare il criterio degli infinitesimi... $ lim_{n} n^\alpha n!/n^n $
Se prendiamo per esempio $ \alpha = 2 > 1 $, il limite risulterebbe $ lim_{n} (n!)/n^(n-2) = lim_{n} (o( n^(n-2)) )/n^(n-2) = 0 $
Quindi tecnicamente dovrebbe convergere... Il fatto è che ora non ti saprei dimostrare che $n!$ è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $n^(n-2)$...
Lo è sicuramente rispetto a $n^n$ ma così non so cosa dirti...
PS: Comunque tenderebbe a 1 e per il criterio della radice non hai soluzione
Se prendiamo per esempio $ \alpha = 2 > 1 $, il limite risulterebbe $ lim_{n} (n!)/n^(n-2) = lim_{n} (o( n^(n-2)) )/n^(n-2) = 0 $
Quindi tecnicamente dovrebbe convergere... Il fatto è che ora non ti saprei dimostrare che $n!$ è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $n^(n-2)$...
Lo è sicuramente rispetto a $n^n$ ma così non so cosa dirti...
PS: Comunque tenderebbe a 1 e per il criterio della radice non hai soluzione
Il fatto è che questo esercizio è subito dopo i vari criteri, ovvero rapporto, asintotico e radice, quindi sarà da risolvere senza procedimenti strani (escludendo magari qualche limite notevole)
Se ci riuscite va bene, altrimenti nei prossimi giorni lo chiedo alla prof
Se ci riuscite va bene, altrimenti nei prossimi giorni lo chiedo alla prof
Hai fatto bene ad applicare il criterio del rapporto. A questo punto basta calcolare:
$lim_{n->+infty} (n^n)/((n+1)^n) =lim_{n->+infty} 1/((1+1/n)^n) =1/e <1$
Quindi la serie converge.
$lim_{n->+infty} (n^n)/((n+1)^n) =lim_{n->+infty} 1/((1+1/n)^n) =1/e <1$
Quindi la serie converge.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo