Dubbi su de l'Hopital, o piccolo e incremento finito
Salve a tutti,
come da titolo, ho questi tre dubbi:
[hl]Incremento finito[/hl]
Cos'è e a che serve? A me sembra solamente il limite del rapporto incrementale rigirato.
Nelle dispense è marcato come "Importante" e riportato in questo modo:
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \]
ma non riesco veramente a capirne il significato né tanto meno l'importanza.
[hl]O piccolo[/hl]
Se \(f(x) = o(1) \), allora vuol dire che \(f(x) = o(2),o(3),...,o(n) \) ?. Per esempio, nel caso dell'incremento finito la dimostrazione che ho assume che \(0 = o(1)\). Sarebbe stato corretto dire \(0 = o(2)\)? Quindi scrivere l'incremento finito come \[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(2(x-x_0)) \]
[hl]De L'hopital[/hl]
Ho trovato diverse dimostrazioni di questo teorema, alcune mettevano come condizione la necessità di trovarsi di fronte ad una forma di indecisione per utilizzarlo. E' cosi oppure si può utilizzare indipendentemente dal fatto che il limite sia una f. di indecisione?
Grazie!
come da titolo, ho questi tre dubbi:
[hl]Incremento finito[/hl]
Cos'è e a che serve? A me sembra solamente il limite del rapporto incrementale rigirato.
Nelle dispense è marcato come "Importante" e riportato in questo modo:
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \]
ma non riesco veramente a capirne il significato né tanto meno l'importanza.
[hl]O piccolo[/hl]
Se \(f(x) = o(1) \), allora vuol dire che \(f(x) = o(2),o(3),...,o(n) \) ?. Per esempio, nel caso dell'incremento finito la dimostrazione che ho assume che \(0 = o(1)\). Sarebbe stato corretto dire \(0 = o(2)\)? Quindi scrivere l'incremento finito come \[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(2(x-x_0)) \]
[hl]De L'hopital[/hl]
Ho trovato diverse dimostrazioni di questo teorema, alcune mettevano come condizione la necessità di trovarsi di fronte ad una forma di indecisione per utilizzarlo. E' cosi oppure si può utilizzare indipendentemente dal fatto che il limite sia una f. di indecisione?
Grazie!
Risposte
Cerca tra i miei messaggi, ho fatto una domanda uguale (più o meno - più meno che più ma magari ti interessa lo stesso).
1. L'incremento finito serve nei casi in cui non ci interessa la funzione $f$ nel suo complesso ma solo come si comporta vicina al punto $x_0$. Infatti, quando $x \to x_0$ il termine al secondo membre tende a $f(x_0)$ con o piccolo che tende a 0, mentre quando si allontana no (o meglio, il secondo termine è sempre uguale al primo, ma in quel caso tutto il lavoro è svolto dall' o piccolo)
Se ci fai caso, dopo l'uguale c'è scritta la retta tangente per quel punto + o piccolo
2. Non ho capito la domanda
3. Si, la forma di indecisione è necessaria
Infatti $lim_{x \to +\infty} sinx / x = 0$ mentre se applichi De L'Hôpital il risulato è che il limite non esiste
Se ci fai caso, dopo l'uguale c'è scritta la retta tangente per quel punto + o piccolo
2. Non ho capito la domanda
3. Si, la forma di indecisione è necessaria
Infatti $lim_{x \to +\infty} sinx / x = 0$ mentre se applichi De L'Hôpital il risulato è che il limite non esiste
(2): Quella di $\text{o}$-piccolo è una notazione insiemistica e viene usata in maniera abbastanza elastica nei primi corsi di analisi, al punto tale che per essa valgono regole algebriche quantomeno buffe per un neofita: ad esempio, è "corretto" scrivere $\text{o}(x)=\text{o}(x)+\text{o}(x)$ e da ciò non si può dedurre, come si farebbe algebricamente, che è sempre $\text{o}(x)=0$. Insomma, i simboli di Landau vanno usati con cautela e soprattutto è anche bene imparare ad usarli nella loro formulazione rigorosa (ossia con la funzione $\omega$ tale che $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$, per altre informazioni guarda il post di gugo82 sui simboli di Landau messo in evidenza in alto in questa stanza di analisi matematica di base).
In particolare, dalla definizione discende che la notazione $f(x)=\text{o}(1)$ per $x \to x_0$ significa che $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$; infatti, la definizione (a grandi linee, per una definizione precisa guarda un libro di testo) è $f(x)=\text{o}(g(x))$ per $x\to x_0$ se $f(x)=g(x)\omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$. Quindi, $f(x)=\text{o}(1)$ per $x \to x_0$ se $f(x)=1\cdot \omega(x)=\omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$, ossia $f(x) \to 0$ per $x\to x_0$.
Dalla definizione, è veloce dimostrare che scrivere $f(x)=\text{o}(1)$ oppure scrivere, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ fissato, $f(x)=\text{o}(\alpha)}$, è la stessa cosa (puoi provare a dimostrarlo per esercizio). Tutte queste uguaglianze andrebbero interpretate come appartenenza insiemistica, in quanto $\text{o}$-piccolo individua una classe di funzioni aventi la proprietà descritta dalla definizione.
Nel tuo caso particolare: dato che si dimostra altrettanto velocemente che, per ogni $c\in\mathbb{R}$ fissato, è $\text{o}(x-c)=\text{o}(\alpha(x-c))$, mi verrebbe da dire che potresti scrivere tranquillamente $\text{o}(2(x-x_0))$ ma non viene fatto, credo, per motivi puramente estetici. Magari aspetta pareri più esperti del mio su quest'ultima affermazione.
In particolare, dalla definizione discende che la notazione $f(x)=\text{o}(1)$ per $x \to x_0$ significa che $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$; infatti, la definizione (a grandi linee, per una definizione precisa guarda un libro di testo) è $f(x)=\text{o}(g(x))$ per $x\to x_0$ se $f(x)=g(x)\omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$. Quindi, $f(x)=\text{o}(1)$ per $x \to x_0$ se $f(x)=1\cdot \omega(x)=\omega(x)$ con $\omega(x) \to 0$ per $x \to x_0$, ossia $f(x) \to 0$ per $x\to x_0$.
Dalla definizione, è veloce dimostrare che scrivere $f(x)=\text{o}(1)$ oppure scrivere, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ fissato, $f(x)=\text{o}(\alpha)}$, è la stessa cosa (puoi provare a dimostrarlo per esercizio). Tutte queste uguaglianze andrebbero interpretate come appartenenza insiemistica, in quanto $\text{o}$-piccolo individua una classe di funzioni aventi la proprietà descritta dalla definizione.
Nel tuo caso particolare: dato che si dimostra altrettanto velocemente che, per ogni $c\in\mathbb{R}$ fissato, è $\text{o}(x-c)=\text{o}(\alpha(x-c))$, mi verrebbe da dire che potresti scrivere tranquillamente $\text{o}(2(x-x_0))$ ma non viene fatto, credo, per motivi puramente estetici. Magari aspetta pareri più esperti del mio su quest'ultima affermazione.
"Galileo1729":
Infatti $lim_{x \to +\infty} sinx / x = 0$ mentre se applichi De L'Hôpital il risulato è che il limite non esiste
E in base a cosa vorresti applicare De L'Hôpital a questo specifico limite?
"Bokonon":
[quote="Galileo1729"]
Infatti $lim_{x \to +\infty} sinx / x = 0$ mentre se applichi De L'Hôpital il risulato è che il limite non esiste
E in base a cosa vorresti applicare De L'Hôpital a questo specifico limite?[/quote]
?
Galileo1729 voleva solo fornire un esempio del fatto che il teorema di quello dell'ospedale NON si può applicare a quel limite, mancando la condizione che sia una forma indeterminata.
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