Dubbi su costruzione e proprietà della misura
Studiando l'introduzione alla misura sugli integrali di funzioni di più variabili mi sono venuti i seguenti dubbi, che riporto in questa sezione qui in quanto sono più legati ad altre questioni piuttosto che alla misura in sé.
Sia $T$ un insieme chiuso e limitato del piano $(x,y)$ e sia $R$ un dominio rettangolare $R=[a,b] \times [c,d]$ contenente $T$.
Dopo aver suddiviso gli intervalli come nel caso monodimensionale e partizionato in rettangoli $R_i$ il rettangolo $R$, si considera l'unione di questi rettangoli $K=\cup_i R_i$, i quali contengano almeno un punto di $T$ internamente o sulla frontiera, e si definisce la misura $m(K)$ come la somma delle aree dei rettangoli $R_i$.
Si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo $R$, le misure $m(K)$ descrivono un insieme numerico il cui estremo inferiore si chiama misura secondo Lebesgue dell'insieme $T$, indicata con $m(T)$.
Indicato con $\{m(K)}$ l'insieme costituito da misure $m(K)$, risulta quindi
$$m(T)=\inf \{m(K)\}$$
Risulta $m(T)\ge0$ in quanto, per ogni $K$, $m(K)>0$.
I miei dubbi sono
1) Che significa rigorosamente "si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo $R$"?
Cosa sta succedendo? Intuitivamente mi è chiaro, ma sarebbe interessante vedere "con le formule" cosa succede.
2) La disuguaglianza $m(T)\ge0$ è non stretta nonostante tutti gli elementi dell'insieme siano invece strettamente positivi: come mai?
Ho pensato al fatto che o è una proprietà dell'estremo inferiore (anche se composto da elementi strettamente positivi, l'estremo inferiore può non appartenere all'insieme è dunque può essere nullo) oppure il fatto che, essendo in un contesto di limite (con la frase "si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo $R$" sembra ci sia sotto un passaggio al limite), le disuguaglianze strette non passano al limite.
Grazie per il vostro tempo.
Sia $T$ un insieme chiuso e limitato del piano $(x,y)$ e sia $R$ un dominio rettangolare $R=[a,b] \times [c,d]$ contenente $T$.
Dopo aver suddiviso gli intervalli come nel caso monodimensionale e partizionato in rettangoli $R_i$ il rettangolo $R$, si considera l'unione di questi rettangoli $K=\cup_i R_i$, i quali contengano almeno un punto di $T$ internamente o sulla frontiera, e si definisce la misura $m(K)$ come la somma delle aree dei rettangoli $R_i$.
Si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo $R$, le misure $m(K)$ descrivono un insieme numerico il cui estremo inferiore si chiama misura secondo Lebesgue dell'insieme $T$, indicata con $m(T)$.
Indicato con $\{m(K)}$ l'insieme costituito da misure $m(K)$, risulta quindi
$$m(T)=\inf \{m(K)\}$$
Risulta $m(T)\ge0$ in quanto, per ogni $K$, $m(K)>0$.
I miei dubbi sono
1) Che significa rigorosamente "si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo $R$"?
Cosa sta succedendo? Intuitivamente mi è chiaro, ma sarebbe interessante vedere "con le formule" cosa succede.
2) La disuguaglianza $m(T)\ge0$ è non stretta nonostante tutti gli elementi dell'insieme siano invece strettamente positivi: come mai?
Ho pensato al fatto che o è una proprietà dell'estremo inferiore (anche se composto da elementi strettamente positivi, l'estremo inferiore può non appartenere all'insieme è dunque può essere nullo) oppure il fatto che, essendo in un contesto di limite (con la frase "si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo $R$" sembra ci sia sotto un passaggio al limite), le disuguaglianze strette non passano al limite.
Grazie per il vostro tempo.
Risposte
"Mephlip":
1) Che significa rigorosamente "si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo R"?
Cosa sta succedendo? Intuitivamente mi è chiaro, ma sarebbe interessante vedere "con le formule" cosa succede.
Significa "al variare della partizione". Ovviamente nei casi concreti è impossibile vederlo direttamente, poiché si tratta di una procedura astratta (non puoi valutare effettivamente tutti i valori delle aree per tutti i possibili modi di dividere in rettangoli).
"Mephlip":
2) La disuguaglianza m(T)≥0 è non stretta nonostante tutti gli elementi dell'insieme siano invece strettamente positivi: come mai?
Ho pensato al fatto che o è una proprietà dell'estremo inferiore (anche se composto da elementi strettamente positivi, l'estremo inferiore può non appartenere all'insieme è dunque può essere nullo) oppure il fatto che, essendo in un contesto di limite (con la frase "si ripete poi questo procedimento per tutte le possibili decomposizioni del rettangolo R" sembra ci sia sotto un passaggio al limite), le disuguaglianze strette non passano al limite.
Vera la prima. Pensa a${1/n \: \n\ è\ text{naturale}}$. Sono tutti termini positivi per cui i suoi elementi $x$ soddisfano la disuguaglianza stretta $x>0$, mentre l'estremo inferiore di tale insieme è zero.
Speravo ci fosse qualche modo per descriverlo, però in effetti è decisamente improbabile da descrivere.
Avevo pensato proprio a quello per la seconda domanda, ossia all'estremo inferiore di una successione a termini strettamente positivi che tende a $0$! Grazie mille per avermi tolto questi dubbi fastidiosissimi
Avevo pensato proprio a quello per la seconda domanda, ossia all'estremo inferiore di una successione a termini strettamente positivi che tende a $0$! Grazie mille per avermi tolto questi dubbi fastidiosissimi
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