Dubbi su continuità, derivabilità e differenziabilità
ho forti difficoltà a fissare questi concetti sia dal punto di vista teorico che (soprattutto) pratico:
Definizione di continuità: non la conosco, non avendo il docente praticamente mai affrontato direttamente l'argomento
Definizione di derivabilità: si dice che una funzione $ f:X in R^n->R $ è derivabile in un punto $ bar(X0)in Int(X) $ se $ AA iin (1,2,...n),EE fx i (bar(x0)) in R $ . In parole povere, una funzione dovrebbe essere derivabile se $ EE $ le derivate parziali prime (ma cosa si intende per "esistono", che sono diverse da 0 o da $ +- oo $? devono avere un valore finito?)
Definizione di differenziabilità (n=1): si dice che una funzione $ f:X in R^n->R $ è differenziabile in $ bar(x0) in Int(X) $ se $ EE ain R:EE lim_(h -> 0)((f(bar(x0))+h)-f(bar(x0))-| a*h | )/| h |=0 $
Definizione di differenziabilità (n>1): si dice che una funzione $ f:X in R^n->R $ è differenziabile in $ bar(x0) in Int(X) $ se $ EE bar(a)in R:EE lim_(h -> 0)((f(bar(x0))+h)-f(bar(x0))-| bar(a)*h | )/| h |=0 $ con $ bar(a) = gradf(bar(x0))= [ fx1(bar(x0) ), fx2(bar(x0)) ,..., fxn(bar(x0) ) ] $
detto ciò, passiamo alla pratica. un esercizio fatto dal docente a lezione è il seguente:
"Determina l'insieme di definizione di $ f(x,y)=ln(x^2+y^2(tg(xy))^2+1) $, se è derivabile e se è differenziabile".
L'insieme di definizione è $ D=R^2-((xy)!=(Pi)/2+-kPi) $.
Le derivate parziali prime sono $ fx(x,y)=2(x+y^3(sin(xy))/cos(xy))/(x^2+y^2(tan(xy))^2+1) $ e $ 2ytan(xy)(tan(xy)+(xy)/cos^2(xy))/(x^2+y^2(tan(xy))^2+1) $.
Adesso ne verifica la continuità. Come? Cito dagli appunti: le derivate parziali prime sono composte da funzioni elementari, quindi la nostra f(x,y) è continua. Da questo afferma che per il teorema della differenziabilità f(x,y) è differenziabile in $ D $.
Ora quello che mi chiedo è: per verificare la continuità di una funzione basta vedere "ad occhio" che è composta da funzioni elementari? Cercando un po' qua un po' la ho visto che bisogna verificare che il $ lim_((x,y) -> (0,0))f(x,y)=0 $, utilizzando come al solito restrizioni o passaggio alle coordinate polari ma rischiando in questo modo di perdersi nei conti. Sarebbe decisamente più agevole limitarsi alle funzioni elementari ma fino a quando una funzione è definita elementare? insomma, mi sa di "poco oggettivo".
Definizione di continuità: non la conosco, non avendo il docente praticamente mai affrontato direttamente l'argomento
Definizione di derivabilità: si dice che una funzione $ f:X in R^n->R $ è derivabile in un punto $ bar(X0)in Int(X) $ se $ AA iin (1,2,...n),EE fx i (bar(x0)) in R $ . In parole povere, una funzione dovrebbe essere derivabile se $ EE $ le derivate parziali prime (ma cosa si intende per "esistono", che sono diverse da 0 o da $ +- oo $? devono avere un valore finito?)
Definizione di differenziabilità (n=1): si dice che una funzione $ f:X in R^n->R $ è differenziabile in $ bar(x0) in Int(X) $ se $ EE ain R:EE lim_(h -> 0)((f(bar(x0))+h)-f(bar(x0))-| a*h | )/| h |=0 $
Definizione di differenziabilità (n>1): si dice che una funzione $ f:X in R^n->R $ è differenziabile in $ bar(x0) in Int(X) $ se $ EE bar(a)in R:EE lim_(h -> 0)((f(bar(x0))+h)-f(bar(x0))-| bar(a)*h | )/| h |=0 $ con $ bar(a) = gradf(bar(x0))= [ fx1(bar(x0) ), fx2(bar(x0)) ,..., fxn(bar(x0) ) ] $
detto ciò, passiamo alla pratica. un esercizio fatto dal docente a lezione è il seguente:
"Determina l'insieme di definizione di $ f(x,y)=ln(x^2+y^2(tg(xy))^2+1) $, se è derivabile e se è differenziabile".
L'insieme di definizione è $ D=R^2-((xy)!=(Pi)/2+-kPi) $.
Le derivate parziali prime sono $ fx(x,y)=2(x+y^3(sin(xy))/cos(xy))/(x^2+y^2(tan(xy))^2+1) $ e $ 2ytan(xy)(tan(xy)+(xy)/cos^2(xy))/(x^2+y^2(tan(xy))^2+1) $.
Adesso ne verifica la continuità. Come? Cito dagli appunti: le derivate parziali prime sono composte da funzioni elementari, quindi la nostra f(x,y) è continua. Da questo afferma che per il teorema della differenziabilità f(x,y) è differenziabile in $ D $.
Ora quello che mi chiedo è: per verificare la continuità di una funzione basta vedere "ad occhio" che è composta da funzioni elementari? Cercando un po' qua un po' la ho visto che bisogna verificare che il $ lim_((x,y) -> (0,0))f(x,y)=0 $, utilizzando come al solito restrizioni o passaggio alle coordinate polari ma rischiando in questo modo di perdersi nei conti. Sarebbe decisamente più agevole limitarsi alle funzioni elementari ma fino a quando una funzione è definita elementare? insomma, mi sa di "poco oggettivo".
Risposte
UP
Ricontrollando per bene gli appunti delle lezioni ho trovato come unica definizione di continuità la seguente:
Sia $ f:X in R^n->R $ una funzione reale in $ n $ variabili. Sia $ bar(x0) in X $. Si dice che $ f $ è continua in $ x0 $ se si verifica uno dei seguenti due casi:
1) $ x0 $ è isolato
2) $ x0 $ è di accumulazione per $ X $ ed $ $ EE lim_(barx -> bar(x0))f(barx)=f(bar(x0)) $
E' corretta? Nell'eventualità in cui lo sia, qualcuno può aiutarmi in un esercizio come fare a capire se una funzione è differenziabile? Perché il docente ha solo sfiorato questi argomenti e sento di avere diverse lacune in merito... Come ho già scritto, per capire se una funzione è differenziabile o meno lui si è sempre limitato a calcolarne le derivate parziali prime e a vederne "la composizione": se erano composte da funzioni elementari ($ x^2, x, sin(x) $) le considerava automaticamente continue e quindi, per la condizione sufficiente per la differenziabilità, considerava di conseguenza differenziabile la funzione. Basta questo a stabilire la differenziabilità o meno di una funzione?
Sia $ f:X in R^n->R $ una funzione reale in $ n $ variabili. Sia $ bar(x0) in X $. Si dice che $ f $ è continua in $ x0 $ se si verifica uno dei seguenti due casi:
1) $ x0 $ è isolato
2) $ x0 $ è di accumulazione per $ X $ ed $ $ EE lim_(barx -> bar(x0))f(barx)=f(bar(x0)) $
E' corretta? Nell'eventualità in cui lo sia, qualcuno può aiutarmi in un esercizio come fare a capire se una funzione è differenziabile? Perché il docente ha solo sfiorato questi argomenti e sento di avere diverse lacune in merito... Come ho già scritto, per capire se una funzione è differenziabile o meno lui si è sempre limitato a calcolarne le derivate parziali prime e a vederne "la composizione": se erano composte da funzioni elementari ($ x^2, x, sin(x) $) le considerava automaticamente continue e quindi, per la condizione sufficiente per la differenziabilità, considerava di conseguenza differenziabile la funzione. Basta questo a stabilire la differenziabilità o meno di una funzione?
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