Dubbi su confronto locale di funzioni

[Paolo902]

Ho perfettamente capito che cosa significa la scrittura $1-cosx sim 1/2x^2 " per " x->0$.

Mi chiedo soltanto quanto sia lecito manipolare quel $sim$ come se fosse un uguale: voglio dire è giusto fare questo:
$-cosx sim 1/2x^2-1 " per " x->0$

$cosx sim -1/2x^2+1 " per " x->0$

Io credo di sì, controllando le definizioni si vede che restano vere. E poi, disegnando le due curve ($cosx$ e la parabola) si vede che in un intorno di $0$ le due funzioni tendono a coincidere.
Vi chiedo scusa se il mio dubbio pare idiota, ma non riesco a trovare sul mio libro (nè da nessuna parte) un teorema che mi dica quali operazioni sono consentite.

Grazie per l'aiuto e scusatemi peri i miei dubbi sciocchi.

[*pizzaf40]

Io a dire la verità non so cosa significhi e mi hai incuriosito...significa per caso che nell'intorno del punto specificato le funzioni tendono a coincidere? Come una uguaglianza di limiti? Se è così, sono d'accordo che si possa fare quello che dici...più intuitivamente che altro, però direi di sì...

[dissonance]

Se quel $sim$ è definito come (porto la definizione per successioni, quella per funzioni è analoga)
$a_nsimb_n\ iff\ (a_n)/(b_n)\to1$, allora puoi tranquillamente trattarlo come un uguale per i prodotti e per potenze e logaritmi. [size=75][edit]Tolto "esponenziali" sulle quali ho qualche dubbio.[/size] NON puoi trattarlo come uguale in generale.

Forse ti può servire una dispensa sull'argomento: http://www.dm.uniba.it/~pisani/matematica/ordini.pdf (un po' disordinata per la verità, ma contiene tutte le informazioni che servono).

P.S.: Ho ridato un'occhiata alla dispensa. Il capitolo che tratta questo argomento è il primo, ma consiglio di saltare il paragrafo "Equivalenza nelle somme" perché secondo me è inutile e complicata. Il resto invece ti serve.

[gugo82]

"Paolo90":Ho perfettamente capito che cosa significa la scrittura $1-cosx sim 1/2x^2 " per " x->0$.

Mi chiedo soltanto quanto sia lecito manipolare quel $sim$ come se fosse un uguale: voglio dire è giusto fare questo:
$-cosx sim 1/2x^2-1 " per " x->0$

$cosx sim -1/2x^2+1 " per " x->0$

Io credo di sì, controllando le definizioni si vede che restano vere.

Beh, se hai controllato con la definizione, nulla da dire. Lo puoi fare tranquillamente.

Ad ogni modo, se conoscessi l'espressione in serie di Taylor del coseno (penso che la studierai più in là), ti accorgeresti che stai facendo solo delle piccole variazioni sul tema.


P.S.: Per la cronaca, si ha $cos x=\sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n/((2n)!) x^(2n)$ e, per il Teorema di Peano, si può troncare al secondo termine la serie ottenendo $cos x=1-1/2x^2+"o"(x^2)$ intorno a $0$...
Ecco spiegate perchè valgono tutte le tue $sim$-equivalenze.

[Paolo902]

Vi ringrazio molto per le risposte. Grazie mille, Gugo, per aver messo in luce il legame di queste equivalenze con Taylor (che penso studierò tra qualche settimana).
Grazie ancora.