Dubbi su come svolgere esercizi sugli insiemi(e un paio di disequazioni)
Ciao! ho un paio di dubbi su come procedere in alcuni esercizi sugli insieme e sul procedimento per risolvere una disequazione( di cui scrivo due esercizi che non riesco a risolvere, anche per chiarire dove sono i miei dubbi).
Parto con le disequazioni:
1) l'esercizio mi chiede di determinare per quali parametri di $a$ reale è verificata la diseguaglianza
$ 1/2 < |(x - a)/x | < 1 $
ecco io qui non so proprio come procedere, qualcuno può dirmi i passaggi del procedimento? anche senza scrivere i conti, diciamo che mi bastano le istruzioni per un esercizio di questo tipo.
2)in questa disequazione vi sono le radici e il valore assoluto, che mi creano spesso problemi. Premetto che non mi ricordo mai un metodo preciso per risolvere disequazioni che presentano uno di questi due casi, o anche entrambi. Vi mostro come la svolgerei io, e vi chiedo di indicarmi un metodo rigoroso e di segnalare eventuali imprecisioni
$sqrt(|3 -2x| - 1)/(5-x) >= 1 $
prima cosa determino le condizioni di esistenza, che in questo caso sono
$ x != 5 $
e
$|3 - 2x| - 1 >= 0 $
per risolvere questa disuguaglianza già non sono sicuro che il mio metodo sia corretto. Io farei il seguente sistema
$\{(3 - 2x -1 >= 0 , x < 3/2),(-3 + 2x -1>=0 , x > 3/2):}$
che risolto mi da $x <= 1 vv x>=2 $, che, considerando la prima osservazione fatta, mi dice che le condizioni di esistenza sono
$ x \in (-infty, 1] uu [2, 5) uu (5, +infty)$ (giusto?)
da qui , tornando alla disequazione, procederei sempre con un sistema, o meglio due:
$\{(x < 3/2),(sqrt(3 -2x - 1)/(5-x) >= 1):} $ $ vv $ $ \{(x > 3/2),(sqrt(-3 +2x - 1)/(5-x) >= 1):}$
anche qui vi chiedo, è giusto?
andando avanti, ho subito un altro dubbio. Voglio moltiplicare a destra e sinistra per il denominatore, ma io non so se esso è positivo o negativo, quindi devo distinguere i casi giusto? Io per farlo aggiungerei ai sistemi la condizione $ 5 - x >0 $, e distinguerei i casi in cui vale e quelli in cui no, per poi studiarli sempre facendo dei sistemi.
In questo caso noto che per $x < 3/2$ il denominatore è sempre positivo (poichè la condizione è $ x < 5$), e quindi il primo sistema non ha problemi. Per quanto riguarda il secondo sistema, invece devo distinguere due casi. Io ho fatto così
$\{(x < 3/2),(sqrt(3 -2x - 1)/(5-x) >= 1):} $ $ vv $ $ \{(3/2= 1):} $ $ vv $ $ \{(x>5),(sqrt(-3 +2x - 1)/(5-x) >= 1):} $
da cui, per le considerazioni fatte prima
$\{(x < 3/2),(sqrt(2 -2x) >= 5-x):} $ $ vv $ $ \{(3/2= 5-x):} $ $ vv $ $ \{(x>5),(sqrt(2x - 4) <= 5 -x):} $
da qui elevo a potenza. Ecco il dubbio: io so che posso elevare a potenza senza cambiare segno della disequazione quando entrambi i membri a dx e sx sono positivi, e quindi nei primi due sistemi non ho problemi. Nel terzo però so che a destra ho un valore negativo, quindi quando elevo a potenza dovrei cambiare il segno vero? in questo caso a sinistra ho una radice quadrata, e quindi so già che la mia disequazione non è mai verificata, ma nel caso in cui avessi un valore che può essere sia positivo sia negativo(a seconda dei casi), devo distinguere i due casi in 1) entrambi i membri a dx e sx della disequazione sono negativi, quindi il segno non cambia elevando; 2) i segni sono discordi, e quindi devo cambiare il segno elevando a potenza?
ora, finisco il sistema, perchè la soluzione a cui arrivo non mi convince, e magari qualcuno ha un'idea migliore
(non considero più il terzo sistema)
$\{(x < 3/2),(sqrt(2 -2x) >= 5-x):} $ $ vv $ $ \{(3/2= 5-x):} $
$\{(x < 3/2),(2 -2x >= 25 -10x + x^2):} $ $ vv $ $ \{(3/2= 25 -10x + x^2):} $
$\{(x < 3/2),( x^2 -8x +23 <= 0):} $ $ vv $ $ \{(3/2
il primo sistema non ha soluzione poichè il discriminante è minore di 0, mentre per il secondo, risolvendo l'equazione associata, ho che $x_1 = 3 + 2sqrt(7) $ $ $ $ x_2 = 3 -2sqrt(7) $, da cui mi risulta che la soluzione del secondo sistema è:
$3/2 < x < 5$
che è quindi la soluzione di tutti i miei tre sistemi, e che devo confrontare con le condizioni di esistenza. Facendo questo ottengo la soluzione della mia disequazione originale, che mi risulta essere
$2 <= x < 5$
che dite?
Passando ai problemi sugli insieme
3)sia
$A= [-2,-1) uu {2^(-n) : n \in RR} $
mi chiede di determinare la chiusura, l'interno, e la frontiera di A.
Ora, il mio dubbio qui è su come considerare ${2^(-n) : n \in RR}$
semplicemente sono tutti gli elementi della forma $ 2^(-n) $ no?
se si direi che
l'interno è $ (-2,-1) $
la chiusura $ A uu {-1, 1} $
la frontiera $ {2^(-n) : n \in RR} uu {-2} $
che dite?
4) Per $R$ numero positivo fissato e $n \in RR$ devo determinare
$uuu_{n in NN} I_n$
$ \bigcap I_n $
con $I_n = {x \in RR : x^n < 5R^n} $
qui sono andato proprio a caso perchè non so bene come guardare il generico $I_n$
comunque la mia idea era di considerare ogni singolo $I_n$ "come una funzione": ovvero immagino $5R^n$ come una retta ,e tutti gli x che appartengono a $I_n$ sono dunque quelli la cui immagine tramite $x^n$ è minore di $ 5R^n$. Da qui vedo che l'unione è uguale a tutto $RR$ mentre l'intersezione credo contenga solo $0$.
ripeto, qui sono proprio andato a sentimento, delle idee più rigorose e un metodo più preciso sarebbero di grande aiuto.
5)devo determinare la cardinalità di
$A = {x \in [0 ,π/2] : (x^2 - 4)sin(x) + 2x cos(x) +1 = 0 } $
ecco qui credo solo di dover trovare le soluzioni dell'equazione, il loro numero a questo punto mi da la cardinalità dell'insieme(giusto?)
(onestamente non so come risolverla, ho provato a cercare un valore di x per cui si annulla facendo riferimento agli angoli più conosciuti e non ne ho trovato nessuno, se potete indicarmi un procedimento anche qui mi aiutereste molto)
ringrazio tutti in anticipo per la pazienza, e scusate la lunghezza del post e la flemma
Parto con le disequazioni:
1) l'esercizio mi chiede di determinare per quali parametri di $a$ reale è verificata la diseguaglianza
$ 1/2 < |(x - a)/x | < 1 $
ecco io qui non so proprio come procedere, qualcuno può dirmi i passaggi del procedimento? anche senza scrivere i conti, diciamo che mi bastano le istruzioni per un esercizio di questo tipo.
2)in questa disequazione vi sono le radici e il valore assoluto, che mi creano spesso problemi. Premetto che non mi ricordo mai un metodo preciso per risolvere disequazioni che presentano uno di questi due casi, o anche entrambi. Vi mostro come la svolgerei io, e vi chiedo di indicarmi un metodo rigoroso e di segnalare eventuali imprecisioni
$sqrt(|3 -2x| - 1)/(5-x) >= 1 $
prima cosa determino le condizioni di esistenza, che in questo caso sono
$ x != 5 $
e
$|3 - 2x| - 1 >= 0 $
per risolvere questa disuguaglianza già non sono sicuro che il mio metodo sia corretto. Io farei il seguente sistema
$\{(3 - 2x -1 >= 0 , x < 3/2),(-3 + 2x -1>=0 , x > 3/2):}$
che risolto mi da $x <= 1 vv x>=2 $, che, considerando la prima osservazione fatta, mi dice che le condizioni di esistenza sono
$ x \in (-infty, 1] uu [2, 5) uu (5, +infty)$ (giusto?)
da qui , tornando alla disequazione, procederei sempre con un sistema, o meglio due:
$\{(x < 3/2),(sqrt(3 -2x - 1)/(5-x) >= 1):} $ $ vv $ $ \{(x > 3/2),(sqrt(-3 +2x - 1)/(5-x) >= 1):}$
anche qui vi chiedo, è giusto?
andando avanti, ho subito un altro dubbio. Voglio moltiplicare a destra e sinistra per il denominatore, ma io non so se esso è positivo o negativo, quindi devo distinguere i casi giusto? Io per farlo aggiungerei ai sistemi la condizione $ 5 - x >0 $, e distinguerei i casi in cui vale e quelli in cui no, per poi studiarli sempre facendo dei sistemi.
In questo caso noto che per $x < 3/2$ il denominatore è sempre positivo (poichè la condizione è $ x < 5$), e quindi il primo sistema non ha problemi. Per quanto riguarda il secondo sistema, invece devo distinguere due casi. Io ho fatto così
$\{(x < 3/2),(sqrt(3 -2x - 1)/(5-x) >= 1):} $ $ vv $ $ \{(3/2
da cui, per le considerazioni fatte prima
$\{(x < 3/2),(sqrt(2 -2x) >= 5-x):} $ $ vv $ $ \{(3/2
da qui elevo a potenza. Ecco il dubbio: io so che posso elevare a potenza senza cambiare segno della disequazione quando entrambi i membri a dx e sx sono positivi, e quindi nei primi due sistemi non ho problemi. Nel terzo però so che a destra ho un valore negativo, quindi quando elevo a potenza dovrei cambiare il segno vero? in questo caso a sinistra ho una radice quadrata, e quindi so già che la mia disequazione non è mai verificata, ma nel caso in cui avessi un valore che può essere sia positivo sia negativo(a seconda dei casi), devo distinguere i due casi in 1) entrambi i membri a dx e sx della disequazione sono negativi, quindi il segno non cambia elevando; 2) i segni sono discordi, e quindi devo cambiare il segno elevando a potenza?
ora, finisco il sistema, perchè la soluzione a cui arrivo non mi convince, e magari qualcuno ha un'idea migliore
(non considero più il terzo sistema)
$\{(x < 3/2),(sqrt(2 -2x) >= 5-x):} $ $ vv $ $ \{(3/2
$\{(x < 3/2),(2 -2x >= 25 -10x + x^2):} $ $ vv $ $ \{(3/2
$\{(x < 3/2),( x^2 -8x +23 <= 0):} $ $ vv $ $ \{(3/2
il primo sistema non ha soluzione poichè il discriminante è minore di 0, mentre per il secondo, risolvendo l'equazione associata, ho che $x_1 = 3 + 2sqrt(7) $ $ $ $ x_2 = 3 -2sqrt(7) $, da cui mi risulta che la soluzione del secondo sistema è:
$3/2 < x < 5$
che è quindi la soluzione di tutti i miei tre sistemi, e che devo confrontare con le condizioni di esistenza. Facendo questo ottengo la soluzione della mia disequazione originale, che mi risulta essere
$2 <= x < 5$
che dite?
Passando ai problemi sugli insieme
3)sia
$A= [-2,-1) uu {2^(-n) : n \in RR} $
mi chiede di determinare la chiusura, l'interno, e la frontiera di A.
Ora, il mio dubbio qui è su come considerare ${2^(-n) : n \in RR}$
semplicemente sono tutti gli elementi della forma $ 2^(-n) $ no?
se si direi che
l'interno è $ (-2,-1) $
la chiusura $ A uu {-1, 1} $
la frontiera $ {2^(-n) : n \in RR} uu {-2} $
che dite?
4) Per $R$ numero positivo fissato e $n \in RR$ devo determinare
$uuu_{n in NN} I_n$
$ \bigcap I_n $
con $I_n = {x \in RR : x^n < 5R^n} $
qui sono andato proprio a caso perchè non so bene come guardare il generico $I_n$
comunque la mia idea era di considerare ogni singolo $I_n$ "come una funzione": ovvero immagino $5R^n$ come una retta ,e tutti gli x che appartengono a $I_n$ sono dunque quelli la cui immagine tramite $x^n$ è minore di $ 5R^n$. Da qui vedo che l'unione è uguale a tutto $RR$ mentre l'intersezione credo contenga solo $0$.
ripeto, qui sono proprio andato a sentimento, delle idee più rigorose e un metodo più preciso sarebbero di grande aiuto.
5)devo determinare la cardinalità di
$A = {x \in [0 ,π/2] : (x^2 - 4)sin(x) + 2x cos(x) +1 = 0 } $
ecco qui credo solo di dover trovare le soluzioni dell'equazione, il loro numero a questo punto mi da la cardinalità dell'insieme(giusto?)
(onestamente non so come risolverla, ho provato a cercare un valore di x per cui si annulla facendo riferimento agli angoli più conosciuti e non ne ho trovato nessuno, se potete indicarmi un procedimento anche qui mi aiutereste molto)
ringrazio tutti in anticipo per la pazienza, e scusate la lunghezza del post e la flemma
Risposte
1) Non mi pare ci siano problemi particolari; se vuoi puoi partire nel modo più semplice cioè distinguendo i due casi de valore assoluto e poi risolvendo le disequazioni risultanti, unendo le soluzioni. Essendoci un parametro non troverai "solo" numeri nelle soluzioni ma, probabilmente, alla fine dovrai risolvere un'altra (altre) disequazione per trovare i valori di $a$ che soddisfano la richiesta.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ciao Alex. Intanto grazie per l'intervento, provando a procedere come dici tu mi è sorto un dubbio, ne approfitto per chiedere un parere
se io voglio distinguere i casi del valore assoluto, devo procedere distinguendo tutti i vari casi seguenti?
$\{(x -a < 0 vv x < 0),((- x + a)/(-x) < 0):}$ $ vv $ $\{(x -a > 0 vv x > 0),((x - a)/x < 0):}$ $ vv $ $\{(x -a < 0 vv x > 0),((- x + a)/x < 0):}$ $ vv $ $\{(x -a > 0 vv x < 0),((x - a)/(-x) < 0):}$
e poi scrivere altrettanti sistemi con la mia disequazione?
se io voglio distinguere i casi del valore assoluto, devo procedere distinguendo tutti i vari casi seguenti?
$\{(x -a < 0 vv x < 0),((- x + a)/(-x) < 0):}$ $ vv $ $\{(x -a > 0 vv x > 0),((x - a)/x < 0):}$ $ vv $ $\{(x -a < 0 vv x > 0),((- x + a)/x < 0):}$ $ vv $ $\{(x -a > 0 vv x < 0),((x - a)/(-x) < 0):}$
e poi scrivere altrettanti sistemi con la mia disequazione?
Mi sembra che hai fatto un po' confusione (o la sto facendo io non saprei ... 
)
Hai un solo valore assoluto, quindi i casi sono solo due:
$\{((x - a)/(x) >= 0),(1/2 < (x - a)/(x) < 1):}$ $vv$ $\{((x - a)/(x) < 0),(1/2 < (a - x)/(x) < 1):}$
Prova a ripartire da qui ...
)Hai un solo valore assoluto, quindi i casi sono solo due:
$\{((x - a)/(x) >= 0),(1/2 < (x - a)/(x) < 1):}$ $vv$ $\{((x - a)/(x) < 0),(1/2 < (a - x)/(x) < 1):}$
Prova a ripartire da qui ...
hai ragione, scusa. Sarà l'ora, ma non so come ho fatto a non pensarci anch'io. grazie mille ancora
Nell'ultimo esercizio, quello della cardinalità, ti sta chiedendo quante soluzioni ha quell'equazione non quali.
Per cui intanto noti che $f(0)=1$ e $f(pi/2)<0$ la tua funzione è continua poiché somma di funzioni continue, quindi per il teorema degli zeri ammette almeno una radice nel tuo intervallo.
Ora bisogna vedere, studiando la monotonia se è l'unica o no.
Calcoli la derivata prima, e studi il segno, ti consiglio di farlo graficamente ragionandoci un pó, quindi ti accorgi che nel tuo intervallo questa è strettamente minore di zero, dunque la tua funzione è strettamente decrescente e la radice che esiste, per Bolzano, è anche l'unica per la monotonia stretta, dunque la cardinalità del tuo insieme è proprio 1.
Per cui intanto noti che $f(0)=1$ e $f(pi/2)<0$ la tua funzione è continua poiché somma di funzioni continue, quindi per il teorema degli zeri ammette almeno una radice nel tuo intervallo.
Ora bisogna vedere, studiando la monotonia se è l'unica o no.
Calcoli la derivata prima, e studi il segno, ti consiglio di farlo graficamente ragionandoci un pó, quindi ti accorgi che nel tuo intervallo questa è strettamente minore di zero, dunque la tua funzione è strettamente decrescente e la radice che esiste, per Bolzano, è anche l'unica per la monotonia stretta, dunque la cardinalità del tuo insieme è proprio 1.
"Tom1092":
... quindi ti accorgi che nel tuo intervallo questa è strettamente minore di zero, ...
Dal grafico non sembra sempre minore di zero, esiste un tratto in cui è positiva. Ho provato a calcolarla e a me viene $(x^2-2)*cos(x)$ che nell'intervallo $[0, pi/2]$ ha dei valori positivi.
Cordialmente, Alex
è vero Tom1092 non avevo pensato di svolgerlo in quella maniera, grazie per avermelo ricordato. Adesso provo a svolgerlo così
grazie anche a Alex per l'intervento!
grazie anche a Alex per l'intervento!
$f(x)=(x^2-4)senx+2xcosx+1$ vediamo di calcolarci questa derivata quindi:
$f'(x)=2xsenx+cosx(x^2-4)+2cosx-2xsenx$ da cui $f'(x)=x^2cosx-2cosx$ Questa funzione è, come detto da Alex, non sempre negativa per cui la funzione avrà prima un minimo e poi un massimo, quello che bisogna cercare di capire è se il min e il max hanno segno discorde.
Se così fosse avresti 3 radici altrimenti se hanno segno concorde solo una.
Scusate avevo fatto un errore nella derivata, ringrazio Alex per avermelo fatto notare.
$f'(x)=2xsenx+cosx(x^2-4)+2cosx-2xsenx$ da cui $f'(x)=x^2cosx-2cosx$ Questa funzione è, come detto da Alex, non sempre negativa per cui la funzione avrà prima un minimo e poi un massimo, quello che bisogna cercare di capire è se il min e il max hanno segno discorde.
Se così fosse avresti 3 radici altrimenti se hanno segno concorde solo una.
Scusate avevo fatto un errore nella derivata, ringrazio Alex per avermelo fatto notare.
Ne ha una sola, il tratto positivo della derivata è piccolissimo ed è ininfluente sulla primitiva.
L'importante è il discorso teorico che hai fatto.
Cordialmente, Alex
L'importante è il discorso teorico che hai fatto.
Cordialmente, Alex
riguardando l'esercizio 2) mi sono accorto di aver scritto delle boiate. Lo correggo qui di seguito
la disequazione da risolvere, come già detto è
$sqrt(|3 -2x| - 1)/(5-x) >= 1 $
da qui sapendo che le condizioni di esistenza sono $ x \in (-infty, 1] uu [2, 5) uu (5, +infty)$, imposto il seguente sistema
$\{(x <= 1),(sqrt(3 -2x - 1)/(5-x) >= 1):} $ $ vv $ $ \{(x >= 2),(sqrt(-3 +2x - 1)/(5-x) >= 1):}$
come detto, prima di moltiplicare a dx e sx per il denominatore devo accertarmi che esso sia positivo, con la condizione $ x> 5$. Noto che per il primo sistema essa è già verificata, mentre il secondo va spezzato in due sistemi differenti. Dai due sistemi precedenti ottengo i tre seguenti sistemi
$\{(x <= 1),(sqrt(2 -2x ) >= 5 -x):} $ $ vv $ $ \{(2 <= x < 5),(sqrt(-4 +2x) >= 5 -x):} $ $ vv $ $ \{(x>5),(sqrt(-4 +2x) <= 5 -x):} $
ora elevo al quadrato. Nei primi due sistemi so che entrambi i membri a dx e sx della disequaglianza sono positivi, quindi il segno non cambia. Il terzo sistema è impossibile, in quanto vi è scritto che una radice quadra(necessariamente positiva) deve essere minore di qualcosa di negativo( da adesso in poi lo ignoro). Svolgendo i conti
$\{(x <= 1),(2 -2x >= 25 -10x +x^2):} $ $ vv $ $ \{(2 <= x < 5),(-4 +2x >= 25 -10x +x^2):} $
$\{(x <= 1),(x^2 -8x +23 <= 0):} $ $ vv $ $ \{(2 <= x < 5),(x^2 -12x +29 <= 0):} $
il primo sistema non ha soluzioni, in quanto $\Delta = 8^2 - 4*23 < 0$ e il coefficiente di $x^2$ è positivo. Il secondo sistema invece ha $\Delta = 144 - 116 = 28$ quindi ho $x_1 = (12 + 2sqrt(7))/2 = 6 + sqrt(7)$ e $x_2 = (12 - 2sqrt(7))/2 = 6 - sqrt(7) $, da cui $ 6 - sqrt(7) <= x <= 6 + sqrt(7)$, che unita alle condizioni di esistenza mi dà la soluzione della mia disequazione originale, che è quindi verificata per
$ 6 - sqrt(7) <= x < 5 $.
cosa ne dite?
la disequazione da risolvere, come già detto è
$sqrt(|3 -2x| - 1)/(5-x) >= 1 $
da qui sapendo che le condizioni di esistenza sono $ x \in (-infty, 1] uu [2, 5) uu (5, +infty)$, imposto il seguente sistema
$\{(x <= 1),(sqrt(3 -2x - 1)/(5-x) >= 1):} $ $ vv $ $ \{(x >= 2),(sqrt(-3 +2x - 1)/(5-x) >= 1):}$
come detto, prima di moltiplicare a dx e sx per il denominatore devo accertarmi che esso sia positivo, con la condizione $ x> 5$. Noto che per il primo sistema essa è già verificata, mentre il secondo va spezzato in due sistemi differenti. Dai due sistemi precedenti ottengo i tre seguenti sistemi
$\{(x <= 1),(sqrt(2 -2x ) >= 5 -x):} $ $ vv $ $ \{(2 <= x < 5),(sqrt(-4 +2x) >= 5 -x):} $ $ vv $ $ \{(x>5),(sqrt(-4 +2x) <= 5 -x):} $
ora elevo al quadrato. Nei primi due sistemi so che entrambi i membri a dx e sx della disequaglianza sono positivi, quindi il segno non cambia. Il terzo sistema è impossibile, in quanto vi è scritto che una radice quadra(necessariamente positiva) deve essere minore di qualcosa di negativo( da adesso in poi lo ignoro). Svolgendo i conti
$\{(x <= 1),(2 -2x >= 25 -10x +x^2):} $ $ vv $ $ \{(2 <= x < 5),(-4 +2x >= 25 -10x +x^2):} $
$\{(x <= 1),(x^2 -8x +23 <= 0):} $ $ vv $ $ \{(2 <= x < 5),(x^2 -12x +29 <= 0):} $
il primo sistema non ha soluzioni, in quanto $\Delta = 8^2 - 4*23 < 0$ e il coefficiente di $x^2$ è positivo. Il secondo sistema invece ha $\Delta = 144 - 116 = 28$ quindi ho $x_1 = (12 + 2sqrt(7))/2 = 6 + sqrt(7)$ e $x_2 = (12 - 2sqrt(7))/2 = 6 - sqrt(7) $, da cui $ 6 - sqrt(7) <= x <= 6 + sqrt(7)$, che unita alle condizioni di esistenza mi dà la soluzione della mia disequazione originale, che è quindi verificata per
$ 6 - sqrt(7) <= x < 5 $.
cosa ne dite?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo