Dubbi su campo vettoriale gradiente
Ho un dubbio che riguarda il campo vettoriale gradiente..
Allora..per definizione un campo vettoriale $v=(v_1(x,y,x) , v_2(x,y,z) , v_3 (x,y,z))$ definito in un aperto $A$ di $R^3$ si dice gradiente se esiste una funzione vettoriale $U(x,y,z)$ definita Potenziale tale che $grad U = v$ in $A$
Allora il mio dubbio è questo... più che un dubbio è un ragionamento credo sbagliato che io faccio, in quanto non vi è riscontro in nessun testo...il ragionamento è questo:
supposto che il campo vettoriale sia continuo, cioè che le sue componenti $v_1 , v_2 e v_3$ è sempre possibile integrare le sue componenti trovando così le 3 componenti di $U$, che diventa il suo campo potenziale... quindi ogni campo $v$ continuo è gradiente (?!?! non penso sia possibile ma non capisco il perchè... ) cosa sbaglio in questo ragionamento?
Allora..per definizione un campo vettoriale $v=(v_1(x,y,x) , v_2(x,y,z) , v_3 (x,y,z))$ definito in un aperto $A$ di $R^3$ si dice gradiente se esiste una funzione vettoriale $U(x,y,z)$ definita Potenziale tale che $grad U = v$ in $A$
Allora il mio dubbio è questo... più che un dubbio è un ragionamento credo sbagliato che io faccio, in quanto non vi è riscontro in nessun testo...il ragionamento è questo:
supposto che il campo vettoriale sia continuo, cioè che le sue componenti $v_1 , v_2 e v_3$ è sempre possibile integrare le sue componenti trovando così le 3 componenti di $U$, che diventa il suo campo potenziale... quindi ogni campo $v$ continuo è gradiente (?!?! non penso sia possibile ma non capisco il perchè... ) cosa sbaglio in questo ragionamento?
Risposte
\(U\) deve essere una funzione sola, non tre funzioni diverse.
Per esistere un campo potenziale, il rotore del campo vettoriale deve essere nullo altrimenti in generale hai che l'integrale di linea dipende dal percorso
hai ragione dissonance, sono un pollo
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