Dubbi su campi irrotazionali
Salve,
sto studiando i campi conservativi ed ho trovato dei problemi con due esercizi molto simili tra loro che allego, perché non mi ritrovo con le risposte corrette.
Il primo è il seguente:
Sia $F: RR^2 \\{(0,0)}-> RR^2$ un campo vettoriale $C^1$ e irrotazionale. Sia $\gamma :[0,2\pi]->RR^2$ la curva definita da $\gamma(t)=(4+cost,4+sint)$. Allora, necessariamente,
a) $oint_\gamma F*dP=0$
b) $oint_\gamma F*dP!=0$
c) $F$ non è conservativo in $RR^2 \\{(0,0)}$ perché $RR^2 \\{(0,0)}$ non è semplicemente connesso
d) non si può dire nulla sul valore $oint_\gamma F*dP$
L'unica cosa che riuscirei a dire di questa è che la c) non è necessariamente vera perché il teorema mi dice che se F è irrotazionale ed il dominio è semplicemente connesso allora posso dire che F è conservativo, ma non capisco perché la risposta corretta è la a), io avrei risposto la d) perché non potendo dire se F è conservativo o meno non saprei come concludere che la circuitazione è necessariamente $0$.
Sia $F: RR^2 \\{(0,0)}-> RR^2$ un campo vettoriale $C^1$ e irrotazionale. Sia $\gamma_R$ la circonferenza di centro l'origine e raggio $R>0$ percorsa in verso orario. Allora, necessariamente,
a) $oint_\(gamma_r) F*dP!=0$ per ogni $R$
b) $oint_\(gamma_r) F*dP=0$ per ogni $R$
c) $oint_\(gamma_r) F*dP$ non dipende da $R$
d) $oint_\(gamma_r) F*dP>0$ per ogni $R$
In questo caso invece la risposta corretta è la c).
Essendo molto simili ho fatto un topic unico, evidentemente l'unica cosa che cambia è che nel primo la circonferenza non è centrata nell'origine e nel secondo sì e sospetto che questa cosa sia importante, però non mi viene in mente come poterla sfruttare per dimostrare qual è la risposta corretta, vi ringrazio in anticipo.
sto studiando i campi conservativi ed ho trovato dei problemi con due esercizi molto simili tra loro che allego, perché non mi ritrovo con le risposte corrette.
Il primo è il seguente:
Sia $F: RR^2 \\{(0,0)}-> RR^2$ un campo vettoriale $C^1$ e irrotazionale. Sia $\gamma :[0,2\pi]->RR^2$ la curva definita da $\gamma(t)=(4+cost,4+sint)$. Allora, necessariamente,
a) $oint_\gamma F*dP=0$
b) $oint_\gamma F*dP!=0$
c) $F$ non è conservativo in $RR^2 \\{(0,0)}$ perché $RR^2 \\{(0,0)}$ non è semplicemente connesso
d) non si può dire nulla sul valore $oint_\gamma F*dP$
L'unica cosa che riuscirei a dire di questa è che la c) non è necessariamente vera perché il teorema mi dice che se F è irrotazionale ed il dominio è semplicemente connesso allora posso dire che F è conservativo, ma non capisco perché la risposta corretta è la a), io avrei risposto la d) perché non potendo dire se F è conservativo o meno non saprei come concludere che la circuitazione è necessariamente $0$.
Sia $F: RR^2 \\{(0,0)}-> RR^2$ un campo vettoriale $C^1$ e irrotazionale. Sia $\gamma_R$ la circonferenza di centro l'origine e raggio $R>0$ percorsa in verso orario. Allora, necessariamente,
a) $oint_\(gamma_r) F*dP!=0$ per ogni $R$
b) $oint_\(gamma_r) F*dP=0$ per ogni $R$
c) $oint_\(gamma_r) F*dP$ non dipende da $R$
d) $oint_\(gamma_r) F*dP>0$ per ogni $R$
In questo caso invece la risposta corretta è la c).
Essendo molto simili ho fatto un topic unico, evidentemente l'unica cosa che cambia è che nel primo la circonferenza non è centrata nell'origine e nel secondo sì e sospetto che questa cosa sia importante, però non mi viene in mente come poterla sfruttare per dimostrare qual è la risposta corretta, vi ringrazio in anticipo.
Risposte
.
Grazie, in effetti non avevo pensato a restringere il dominio in quel modo. Quindi se ho ben capito l'immagine della curva dev'essere contenuta in un dominio semplicemente connesso per poter applicare il teorema, è corretto?
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo