Dubbi su calcolo del flusso?? Ho l'esame tra 2 giorni :S
proprongo l'esercizio
Sia S la superficie ottenuta dalla rotazione della curva di equazione $ z=log x, 1<=x<=e $ attorno all'asse z di un angolo giro.
Calcolare il flusso del campo $ F(x,y,z)=((x^2+2xy)/(x^2+y^2), -x^2/(x^2+y^2),0) $
Io con il teorema della divergenza sono arrivato a $ int int int_(L)^()(2x)/(x^2+y^2) dx dy dz $
Ma non so come scrivere il logaritmo che ruota in coordinate cilindriche. Fino a qua ho fatto bene?
Inoltre volevo chiedere: un altro modo per calcolare il flusso con gli integrali doppi, ricavando A,b,C dalla matrice jacobiana, l'ha fatto la prof in classe ma nn ho capito. c'è un modo alternativo per risolvere anche questo esercizio?
Sia S la superficie ottenuta dalla rotazione della curva di equazione $ z=log x, 1<=x<=e $ attorno all'asse z di un angolo giro.
Calcolare il flusso del campo $ F(x,y,z)=((x^2+2xy)/(x^2+y^2), -x^2/(x^2+y^2),0) $
Io con il teorema della divergenza sono arrivato a $ int int int_(L)^()(2x)/(x^2+y^2) dx dy dz $
Ma non so come scrivere il logaritmo che ruota in coordinate cilindriche. Fino a qua ho fatto bene?
Inoltre volevo chiedere: un altro modo per calcolare il flusso con gli integrali doppi, ricavando A,b,C dalla matrice jacobiana, l'ha fatto la prof in classe ma nn ho capito. c'è un modo alternativo per risolvere anche questo esercizio?
Risposte
ragazzi vi prego anche solo risposte teoriche senza calcoli
ragazzi vi scongiuroo
Tu lo sai che stai contravvenendo al regolamento del forum, facendo questi continui "bump"? Sei fortunato che non ti abbiano ancora chiuso la discussione. Se nessuno ti risponde è perché: 1) o nessuno ha letto; 2) o nessuno sa risponderti; 3) oppure non c'è nessuno (è sabato, fa caldo che pare estate appena iniziata, che vuoi? Saranno al mare).
hai completamente ragione...chiedo scusa ma sto completamwnte impazzendo...ho l'esame lunedì e sto andando nel panico più totale. Chiedo ancora scusa a tutto il forum :'(
L'idea di applicare la divergenza è buona, ma sbagli a farlo. Il teorema richiede che il "solido" sia chiuso, nel senso che $\partial V$ (il bordo) sia una superficie non aperta e senza buchi. Ora, per prima cosa se fai un disegno, ti accorgerai che la superficie $S$ è generata dalla rotazione di una sorta di "trapezio" con la base minore sull'asse $x$, la base maggiore parallelo ad esso e un lato "obliquo" formato dalla curva $z=\log x$. Pertanto per "chiudere" tutto ciò che c'è all'interno, ti servono la base superiore e quella inferiore del "tronco di cono curvo" generato dalla rotazione di tale curva. Tali basi, che indico con $B_0,\ B_1$ sono due cerchi (stiamo parlando di superficie di rotazione) con centro nei punti $O(0,0,0),\ C(0,0,1)$ e raggi rispettivi $1$ e $e$, poste sui piani $z=0$ e $z=1$ rispettivamente. Pertanto possiamo scrivere, detto $V$ il solido contenuto, che
$$\partial V=S\cup B_0\cup B_1$$
Il teorema della divergenza afferma allora che
$$\int_{\partial V} \vec{F}\bullet n\ d\sigma=\iiint_V(\nabla\bullet F)\ dx \ dy\ dz$$
D'altro canto, visto che il bordo è unione di tre superfici abbiamo
$$\int_S\vec{F}\bullet n_S\ d\sigma+\int_{B_0}\vec{F}\bullet n_0\ d\sigma+\int_{B_1}\vec{F}\bullet n_1\ d\sigma=\iiint_V(\nabla\bullet F)\ dx \ dy\ dz$$
e quindi il flusso che vogliamo calcolare è dato da
$$\int_S\vec{F}\bullet n_S\ d\sigma=\iiint_V(\nabla\bullet F)\ dx \ dy\ dz-\int_{B_0}\vec{F}\bullet n_0\ d\sigma-\int_{B_1}\vec{F}\bullet n_1\ d\sigma$$
Ora, come calcolare i tre integrali.
Per il primo, basta determinare le limitazioni del solido: dal momento che è un solido di rotazione e, per ogni $z$ fissato, il raggio del cerchio alla quota $z$ è proprio $x$, usando le coordinate cilindriche, vediamo che tale solido è dato dalle condizioni
$$\rho\in[1,e],\quad \theta\in[0,2\pi],\quad z\in[0,1]$$
ed avendosi divergenza pari a
$$\frac{2y^2(x+y)}{(x^2+y^2)^2}$$
(come l'hai calcolata?) abbiamo, dal momento che stiamo effettuando il cambiamento di coordinate
$$x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad z=z$$
il seguente integrale
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_1^e \frac{2\rho^3(\cos\theta+\sin\theta)}{\rho^4}\cdot\rho\ d\rho\ dz\ d\theta$$
Per quanto riguarda invece le due basi, osserva che i vettori normali sono, rispettivamente,
$$n_0=(0,0,-1),\qquad n_1=(0,0,1)$$
e il loro prodotto scalare con il vettore $\vec{F}$ è nullo. pertanto possiamo concludere che
$$\int_S\vec{F}\bullet n_S\ d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_1^e \frac{2\rho^3(\cos\theta+\sin\theta)}{\rho^4}\cdot\rho\ d\rho\ dz\ d\theta$$
e una semplice osservazione dovrebbe farti convincere, senza fare conti, che esso vale zero.
$$\partial V=S\cup B_0\cup B_1$$
Il teorema della divergenza afferma allora che
$$\int_{\partial V} \vec{F}\bullet n\ d\sigma=\iiint_V(\nabla\bullet F)\ dx \ dy\ dz$$
D'altro canto, visto che il bordo è unione di tre superfici abbiamo
$$\int_S\vec{F}\bullet n_S\ d\sigma+\int_{B_0}\vec{F}\bullet n_0\ d\sigma+\int_{B_1}\vec{F}\bullet n_1\ d\sigma=\iiint_V(\nabla\bullet F)\ dx \ dy\ dz$$
e quindi il flusso che vogliamo calcolare è dato da
$$\int_S\vec{F}\bullet n_S\ d\sigma=\iiint_V(\nabla\bullet F)\ dx \ dy\ dz-\int_{B_0}\vec{F}\bullet n_0\ d\sigma-\int_{B_1}\vec{F}\bullet n_1\ d\sigma$$
Ora, come calcolare i tre integrali.
Per il primo, basta determinare le limitazioni del solido: dal momento che è un solido di rotazione e, per ogni $z$ fissato, il raggio del cerchio alla quota $z$ è proprio $x$, usando le coordinate cilindriche, vediamo che tale solido è dato dalle condizioni
$$\rho\in[1,e],\quad \theta\in[0,2\pi],\quad z\in[0,1]$$
ed avendosi divergenza pari a
$$\frac{2y^2(x+y)}{(x^2+y^2)^2}$$
(come l'hai calcolata?) abbiamo, dal momento che stiamo effettuando il cambiamento di coordinate
$$x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad z=z$$
il seguente integrale
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_1^e \frac{2\rho^3(\cos\theta+\sin\theta)}{\rho^4}\cdot\rho\ d\rho\ dz\ d\theta$$
Per quanto riguarda invece le due basi, osserva che i vettori normali sono, rispettivamente,
$$n_0=(0,0,-1),\qquad n_1=(0,0,1)$$
e il loro prodotto scalare con il vettore $\vec{F}$ è nullo. pertanto possiamo concludere che
$$\int_S\vec{F}\bullet n_S\ d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_1^e \frac{2\rho^3(\cos\theta+\sin\theta)}{\rho^4}\cdot\rho\ d\rho\ dz\ d\theta$$
e una semplice osservazione dovrebbe farti convincere, senza fare conti, che esso vale zero.
Waa grazie e sì io non ci riuscivo proprio perché per z al di sotto non riuscivo a trovare una limitazione...comunque la divergenza l'ho calcolata con la definizione, ovvero somma delle tre derivate parziali
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