Dubbi su applicazione di gerarchia degli infiniti per la risoluzione di limiti
Salve a tutti, ho da poco iniziato a studiare e ad esercitarmi con la risoluzione di limiti. Ho risolto alcuni limiti, facendo in particolar modo riferimento alla "gerarchia degli infiniti" per la risoluzione. Poiché non sono sicuro che mi è chiaro questo approccio vorrei proporvi la mia risoluzione di alcuni limiti per verificare se formalmente sia corretta. Premetto che, confrontandomi con le soluzioni dell'eserciziario, i risultati sono corretti.
Primo limite:
$ lim_(x -> +-\infty\) e^xlog|x| $
Dunque, per $ x -> +\infty\ $ poiché sia $ e^x $ che $ log|x| $ tendono ad infinito allora il risultato è $ +\infty\ $.
Per $ x -> -\infty\ $ ho la forma $ 0*\infty\ $ tuttavia posso dire che $ e^xlog|x| ~ e^x $ che tende a 0 per x che tende a $ -\infty\ $
Secondo limite:
$ lim_(x -> +-\infty\) (log|x|+2^x)/x $
Per $ x -> +\infty\ $ ho la forma indeterminata $ \infty\/\infty\ $ tuttavia $ (log|x|+2^x)~ 2^x $ e $ 2^x/x~ 2^x $ che tende a $ +\infty\ $.
Applicando lo stesso ragionamento ottengo che il limite è uguale a zero per x che tende a meno infinito.
Terzo limite:
$ lim_(x -> +-\infty\) (e^(2x)+2e^x)/(e^-x+3e^x) $
Per $ x -> +\infty\ $ ho la forma indeterminata $ \infty\/\infty\ $. Quindi $ (e^(2x)+2e^x)/(e^-x+3e^x)~ e^(2x)/(3e^(2x))=1/3 $ , risultato del limite. Per $ x -> -\infty\ $ è il calcolo è abbastanza diretto e veloce e il risultato e 0.
Quarto limite:
$ lim_(x -> +\infty\) ((x^5+x)^(1/3)-x^(5/3)) $
In questo caso, $ (x^5+x)~ x^5 $ e di conseguenza $ (x^5)^(1/3)-x^(5/3)=0 $, risultato del limite.
Infine non sono riuscito a risolvere quest'ultimo, in cui ho provato ad applicare lo stesso metodo non trovando alternative:
$ lim_(x -> +\infty\) ((x+2)/(x+3))^x $ che ho riscritto come $ lim_(x -> +\infty\) e^(xlog((x+2)/(x+3))) $ ma non riesco a risolvere il limite per l'esponente.
Grazie a chi vorrà aiutarmi.
Primo limite:
$ lim_(x -> +-\infty\) e^xlog|x| $
Dunque, per $ x -> +\infty\ $ poiché sia $ e^x $ che $ log|x| $ tendono ad infinito allora il risultato è $ +\infty\ $.
Per $ x -> -\infty\ $ ho la forma $ 0*\infty\ $ tuttavia posso dire che $ e^xlog|x| ~ e^x $ che tende a 0 per x che tende a $ -\infty\ $
Secondo limite:
$ lim_(x -> +-\infty\) (log|x|+2^x)/x $
Per $ x -> +\infty\ $ ho la forma indeterminata $ \infty\/\infty\ $ tuttavia $ (log|x|+2^x)~ 2^x $ e $ 2^x/x~ 2^x $ che tende a $ +\infty\ $.
Applicando lo stesso ragionamento ottengo che il limite è uguale a zero per x che tende a meno infinito.
Terzo limite:
$ lim_(x -> +-\infty\) (e^(2x)+2e^x)/(e^-x+3e^x) $
Per $ x -> +\infty\ $ ho la forma indeterminata $ \infty\/\infty\ $. Quindi $ (e^(2x)+2e^x)/(e^-x+3e^x)~ e^(2x)/(3e^(2x))=1/3 $ , risultato del limite. Per $ x -> -\infty\ $ è il calcolo è abbastanza diretto e veloce e il risultato e 0.
Quarto limite:
$ lim_(x -> +\infty\) ((x^5+x)^(1/3)-x^(5/3)) $
In questo caso, $ (x^5+x)~ x^5 $ e di conseguenza $ (x^5)^(1/3)-x^(5/3)=0 $, risultato del limite.
Infine non sono riuscito a risolvere quest'ultimo, in cui ho provato ad applicare lo stesso metodo non trovando alternative:
$ lim_(x -> +\infty\) ((x+2)/(x+3))^x $ che ho riscritto come $ lim_(x -> +\infty\) e^(xlog((x+2)/(x+3))) $ ma non riesco a risolvere il limite per l'esponente.
Grazie a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
Ciao pcnf16,
Brevemente, che s'è fatta una certa ora...
Per il quarto limite proposto ti è andata bene nel senso che il risultato è quello, ma vi sono cancellazioni quindi avresti dovuto ricorrere allo sviluppo in serie od anche solo ai limiti notevoli:
$\lim_{x \to +infty}[(x^5+x)^(1/3)-x^(5/3)] = \lim_{x \to +infty}[x^(5/3)(1+1/x^4)^(1/3)-x^(5/3)] = \lim_{x \to +infty}\frac{(1+1/x^4)^(1/3)-1}{1/x^(5/3)} = $
$ = \lim_{x \to +infty}\frac{(1+1/x^4)^(1/3)-1}{1/x^4} \cdot \frac{1/x^4}{1/x^(5/3)} = \lim_{x \to +infty}\frac{(1+1/x^4)^(1/3)-1}{1/x^4} \cdot 1/x^(7/3) = 1/3 \cdot 0 = 0 $
Per l'ultimo invece ti propongo due soluzioni...
La prima:
$ \lim_{x \to +\infty}((x+2)/(x+3))^x = \lim_{x \to +\infty}((x+3 - 1)/(x+3))^x = \lim_{x \to +\infty}(1 + (-1)/(x+3))^x = ... = 1/e $
avendo fatto ricorso al limite notevole $ \lim_{f(x) \to +\infty}[1 + a/(f(x))]^{f(x)} = e^a $
La seconda, riscrivendolo come l'hai scritto e considerando per comodità solo l'esponente si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} x log((x + 2)/(x + 3)) = \lim_{x \to +\infty} x log((x + 3 - 1)/(x + 3)) = \lim_{x \to +\infty} x log(1 + (-1)/(x + 3)) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{log(1 + (-1)/(x + 3))}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{log(1 + (-1)/(x + 3))}{-1/(x + 3)} \cdot \frac{-1/(x + 3)}{1/x} = 1 \cdot (- 1) = - 1 $
avendo fatto ricorso al limite notevole $ \lim_{f(x) \to 0}\frac{log[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $
Brevemente, che s'è fatta una certa ora...
Per il quarto limite proposto ti è andata bene nel senso che il risultato è quello, ma vi sono cancellazioni quindi avresti dovuto ricorrere allo sviluppo in serie od anche solo ai limiti notevoli:
$\lim_{x \to +infty}[(x^5+x)^(1/3)-x^(5/3)] = \lim_{x \to +infty}[x^(5/3)(1+1/x^4)^(1/3)-x^(5/3)] = \lim_{x \to +infty}\frac{(1+1/x^4)^(1/3)-1}{1/x^(5/3)} = $
$ = \lim_{x \to +infty}\frac{(1+1/x^4)^(1/3)-1}{1/x^4} \cdot \frac{1/x^4}{1/x^(5/3)} = \lim_{x \to +infty}\frac{(1+1/x^4)^(1/3)-1}{1/x^4} \cdot 1/x^(7/3) = 1/3 \cdot 0 = 0 $
Per l'ultimo invece ti propongo due soluzioni...
La prima:
$ \lim_{x \to +\infty}((x+2)/(x+3))^x = \lim_{x \to +\infty}((x+3 - 1)/(x+3))^x = \lim_{x \to +\infty}(1 + (-1)/(x+3))^x = ... = 1/e $
avendo fatto ricorso al limite notevole $ \lim_{f(x) \to +\infty}[1 + a/(f(x))]^{f(x)} = e^a $
La seconda, riscrivendolo come l'hai scritto e considerando per comodità solo l'esponente si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} x log((x + 2)/(x + 3)) = \lim_{x \to +\infty} x log((x + 3 - 1)/(x + 3)) = \lim_{x \to +\infty} x log(1 + (-1)/(x + 3)) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{log(1 + (-1)/(x + 3))}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{log(1 + (-1)/(x + 3))}{-1/(x + 3)} \cdot \frac{-1/(x + 3)}{1/x} = 1 \cdot (- 1) = - 1 $
avendo fatto ricorso al limite notevole $ \lim_{f(x) \to 0}\frac{log[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $
Grazie per la risposta 
Mi premeva perlopiù sapere se formalmente la risoluzione fosse corretta. Anche del quarto limite proposto.
In merito all'ultimo, invece, nell'attesa di un riscontro da parte del forum sono riuscito a risolverlo grazie ad un aiuto da parte del mio libro di testo (un box faceva riferimento alla stima asintotica del logaritmo).
Anche qui a questo punto vorrei un parere. La risoluzione è la seguente:
$ lim_(x -> +\infty\) ((x+2)/(x+3))^x = lim_(x -> +\infty\) e^(xlog((x+2)/(x+3))) $
Per $ x -> +\infty\ $, $ (x+2)/(x+3)->1 $ perciò $ log((x+2)/(x+3))~ (x+2)/(x+3)-1 = -1/(x+3) $
Il limite quindi si riduce a: $ lim_(x -> +\infty\) e^(x(-1/x)) $ (poiché per $ x -> +\infty\ $ $ -1/(x+3)~ -1/x $ ) e semplificando la x ottengo -1 come esponente e quindi il risultato.
Ora, sebbene la sezione da cui ho preso questi esercizi, non fa menzione a un particolare metodo di risoluzione, suppongo che siano ammesse tutte le possibili tecniche di risoluzione dei limiti. Il motivo principale per cui sto ponendo queste domande, come già accennato, non è tanto risolvere il limite in se quanto capire "se ho capito" come applicare correttamente delle tecniche per me nuove per la risoluzione del limite. Ad esempio, ho visto che hai fatto largo uso dei limiti notevoli, che su 10 limiti risolti sino ad ora da questo manuale, io non ho mai utilizzato. Piuttosto ho utilizzato tutte queste tecniche per valutare/semplificare i limiti e giungere alla risoluzione (ecco perché ho postato gli altri limiti già risolti). Siccome sono consapevole che giungere al risultato corretto non sia sinonimo di corretta risoluzione (anche se sino a questo momento sono sempre giunto al risultato corretto al primo colpo) vorrei capire se questo tipo di risoluzione sia corretto oppure no. Grazie ancora
Mi premeva perlopiù sapere se formalmente la risoluzione fosse corretta. Anche del quarto limite proposto.In merito all'ultimo, invece, nell'attesa di un riscontro da parte del forum sono riuscito a risolverlo grazie ad un aiuto da parte del mio libro di testo (un box faceva riferimento alla stima asintotica del logaritmo).
Anche qui a questo punto vorrei un parere. La risoluzione è la seguente:
$ lim_(x -> +\infty\) ((x+2)/(x+3))^x = lim_(x -> +\infty\) e^(xlog((x+2)/(x+3))) $
Per $ x -> +\infty\ $, $ (x+2)/(x+3)->1 $ perciò $ log((x+2)/(x+3))~ (x+2)/(x+3)-1 = -1/(x+3) $
Il limite quindi si riduce a: $ lim_(x -> +\infty\) e^(x(-1/x)) $ (poiché per $ x -> +\infty\ $ $ -1/(x+3)~ -1/x $ ) e semplificando la x ottengo -1 come esponente e quindi il risultato.
Ora, sebbene la sezione da cui ho preso questi esercizi, non fa menzione a un particolare metodo di risoluzione, suppongo che siano ammesse tutte le possibili tecniche di risoluzione dei limiti. Il motivo principale per cui sto ponendo queste domande, come già accennato, non è tanto risolvere il limite in se quanto capire "se ho capito" come applicare correttamente delle tecniche per me nuove per la risoluzione del limite. Ad esempio, ho visto che hai fatto largo uso dei limiti notevoli, che su 10 limiti risolti sino ad ora da questo manuale, io non ho mai utilizzato. Piuttosto ho utilizzato tutte queste tecniche per valutare/semplificare i limiti e giungere alla risoluzione (ecco perché ho postato gli altri limiti già risolti). Siccome sono consapevole che giungere al risultato corretto non sia sinonimo di corretta risoluzione (anche se sino a questo momento sono sempre giunto al risultato corretto al primo colpo) vorrei capire se questo tipo di risoluzione sia corretto oppure no. Grazie ancora
La mia personale scala dei metodi di risoluzione dei limiti è la seguente:
1) limiti notevoli;
2) regola di de l'Hôpital;
3) sviluppi in serie;
4) Infiniti e infinitesimi.
Per me è conveniente usare 1) ogniqualvolta ciò sia possibile. Chiaramente se il gioco si fa duro (tipo il limite che mi è stato proposto a suo tempo nel corso di una prova intermedia di Analisi matematica I che non stava su un foglio protocollo A4 normalmente posizionato, ma è stato necessario scriverlo per il lungo... ) allora i metodi principe sono il 3) e il 4).
Detto questo rispondo alla tua domanda in merito al quarto limite, il cui procedimento per me non è corretto perché, se non ti piace lo svolgimento che ti ho proposto, avresti dovuto usare lo sviluppo in serie di $ (1+1/x^4)^(1/3) $ considerando più di un termine.
1) limiti notevoli;
2) regola di de l'Hôpital;
3) sviluppi in serie;
4) Infiniti e infinitesimi.
Per me è conveniente usare 1) ogniqualvolta ciò sia possibile. Chiaramente se il gioco si fa duro (tipo il limite che mi è stato proposto a suo tempo nel corso di una prova intermedia di Analisi matematica I che non stava su un foglio protocollo A4 normalmente posizionato, ma è stato necessario scriverlo per il lungo...
) allora i metodi principe sono il 3) e il 4).Detto questo rispondo alla tua domanda in merito al quarto limite, il cui procedimento per me non è corretto perché, se non ti piace lo svolgimento che ti ho proposto, avresti dovuto usare lo sviluppo in serie di $ (1+1/x^4)^(1/3) $ considerando più di un termine.
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