Dubbi su alcune derivate

[indovina]

Vorrei che controllaste se ho fatto bene queste derivate.

1) $f(x)=(1/2)*arctg(x/2)$

$f'(x)=(1/2)/((1/2)*(1+(x/2)^2))$

$f'(x)=1/(1+((x^2)/4))$



2) $f(x)=log(|x|)$

$f'(x)=1/|x|$ (qui devo rimanere così, perchè sarebbe per ogni appartenente ad $R$ escluso lo $0$)

3) $f(x)=log(3x)$

$f(x)=log3+log(x)$

$f'(x)=1/x$

4) $f(x)=(x^2)*sin(1/x)$

$f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)$

5) $f(x)=|x^3|$

$f'(x)=3x^2$ con $x>0$

$f'(x)=-3x^2$ con $x<0$

anche su questo sono in dubbio.


(mi scuso se posto tutti i miei dubbi in un unico topic, è per non aprirne moltissimi)

[Paolo902]

"clever":Vorrei che controllaste se ho fatto bene queste derivate.

1) $f(x)=(1/2)*arctg(x/2)$

$f'(x)=(1/2)/((1/2)*(1+(x/2)^2))$

$f'(x)=1/(1+((x^2)/4))$

No, c'è un errore. L'un $1/2$ che hai sotto deve andare sopra. Ti deve risultare $1/(x^2+4)$.

2) $f(x)=log(|x|)$

$f'(x)=1/|x|$ (qui devo rimanere così, perchè sarebbe per ogni appartenente ad $R$ escluso lo $0$)

No, devi ancora moltiplicare per al derivata dell'argomento, $|x|$. In alternativa, se non vuoi rischiare spezza la funzione (levando il modulo) e deriva separatamente i due pezzi (mi raccomando, attenzione ai punti di raccordo! Lì la derivabilità va verificata a mano tramite la definizione)

3) $f(x)=log(3x)$

$f(x)=log3+log(x)$

$f'(x)=1/x$

Ok.

4) $f(x)=(x^2)*sin(1/x)$

$f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)$

Ti sei perso qualcosa nel secondo addendo: tiene $x^2$ e moltiplichi per la derivata di $sin(1/x)$ che è...

5) $f(x)=|x^3|$

$f'(x)=3x^2$ con $x>0$

$f'(x)=-3x^2$ con $x<0$

E in $0$?

[indovina]

2) $x>0$
$f(x)=log(x)$

$f'(x)=1/x$

invece per $x<0$

$f(x)=log(-x)$

$f'(x)=-1/x$


4) nel secondo addendo io ho già fatto i calcoli:

$D(sin(1/x))=(-1/x^2)*cos(1/x)$

poi $(x^2)*(-1/x^2)=-1$

ti trovi?

5) $x=0$

$f'(x)=0$

credo sia cosi....

[Paolo902]

"clever":2) $x>0$
$f(x)=log(x)$

$f'(x)=1/x$

invece per $x<0$

$f(x)=log(-x)$

$f'(x)=-1/x$

Qui devi ancora moltiplicare per $-1$ che è la derivata di $-x$, cioè l'argomento (è funzione composta).

In definitiva, $D(log|x|)=1/x$. Ti faccio notare che - se sei già pratico di calcolo integrale - questo spiega perchè le primitive di $1/x$ sono della forma $log|x|+c$ e non $logx+c$ (con $c$ costante arbitraria).

Inoltre, potevi giungere allo stesso risultato considerando che la derivata di $|x|$ è $|x|/x$ (provare per credere) per cui $D(log|x|)=1/|x|*D(|x|)=1/x$.

4) nel secondo addendo io ho già fatto i calcoli:

$D(sin(1/x))=(-1/x^2)*cos(1/x)$

poi $(x^2)*(-1/x^2)=-1$

ti trovi?

Si hai ragione, scusami è stata una mia svista.

5) $x=0$

$f'(x)=0$

credo sia cosi....

Credi? Sei certo? L'hai dimostrato? Sulla base di che ragionamento sei arrivato a concludere questo?

[K.Lomax]

In generale quando hai [tex]|x|[/tex], ricorda che la sua derivata è la funzione segno [tex]sgn(x)[/tex], ovvero

[tex]sgn(x)=\begin{cases}
1 & \mbox{se } x > 0\\
-1 & \mbox{se } x < 0
\end{cases}[/tex]